Breaking news
  • No posts where found

Matematyka

Twierdzenie Pitagorasa (zadania)

Zadania na klasówkę! Zadanie 1. a) Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 1 i 2. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta. b) Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego ma długość 7,5 cm, a długość przeciwprostokątnej wynosi 12,5 cm. Oblicz pole i obwód tego trójkąta. Rozwiązanie: Wykonajmy rysunek zgodny z treścią zadań i ułóżmy twierdzenie Pitagorasa: a) x² = 1² + 2² x² = 1 + 4 x = √5 Odpowiedź: Długość przeciwprostokątnej wynosi

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne – temat trudny, ale bardzo ważny. Po pierwsze, mogą wystąpić w teście matematyczno-przyrodniczym. Po drugie, bez nich nie rozwiążesz równań, nierówności czy układu równań. Wyrażenia algebraiczne Jak je rozpoznać? Bardzo prosto, bo są to wyrażenia, w których obok liczb, znaków działań, nawiasów występują litery (zmienne), np. a, 55, – 2xyz, 2x – 7, 3(x² – 3x + 9), a³ + 4a – b – (3a + 6) Uwaga W wyrażeniach

Stożek i walec (zadania)

Zapamiętaj! Bryłami obrotowymi nazywamy bryły powstałe w wyniku obrotu pewnej figury płaskiej wokół prostej zwanej osią obrotu. Zapamiętaj! Walcem nazywamy figurę przestrzenną powstałą przez obrót prostokąta wokół prostej zawierającej jeden z boków prostokąta.   Uwaga! Przekrojem osiowym bryły obrotowej nazywamy przekrój płaszczyzną zawierającą oś obrotu, a przekrojem poprzecznym nazywamy przekrój płaszczyzną prostopadłą do osi obrotu bryły. Zadanie 1. Rysunki przedstawiają rozwinięcia powierzchni bocznych walców. Który z walców ma dłuższy promień podstawy, jeżeli pole powierzchni

Figury na płaszczyźnie

Zadania na klasówkę! Zadanie 1. Narysuj 3 proste w taki sposób, by podzieliły one płaszczyznę na 6 części. Rozwiązanie   Zadanie 2. Oblicz miary kątów przyległych, jeśli wiadomo, że jeden z nich ma o 40° mniej od drugiego. Rozwiązanie Oznaczmy przez a miarę większego z kątów, wtedy a – 40° będzie oznaczało miarę mniejszego kąta. Ponieważ suma kątów przyległych wynosi 180°, więc a + a – 40° = 180°. Po rozwiązaniu

Graniastosłupy i ostrosłupy (zadania)

Wiedza w pigułce GRANIASTOSŁUP Graniastosłupem nazywamy figurę przestrzenną, której dwie ściany zwane podstawami są przystającymi wielokątami zawartymi w płaszczyznach równoległych, a ściany boczne są równoległobokami. W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami (są prostopadłe do podstaw). Graniastosłup nazywamy prawidłowym, jeśli jest prosty i podstawy są wielokątami foremnymi. Przekątna graniastosłupa to odcinek łączący dwa wierzchołki nienależące do płaszczyzny jednej ściany. Wysokość graniastosłupa to odcinek prostopadły do podstaw, jego końce leżą na płaszczyznach,

Prostopadłościan (zadania)

Prostopadłościan Prostopadłościan jest to graniastosłup prosty, którego wszystkie ściany są prostokątami. Każda ściana prostopadłościanu może być podstawą albo ścianą boczną; zależy od jego ustawienia. Długości krawędzi podstawy nazywamy odpowiednio długością i szerokością prostopadłościanu, a długość krawędzi bocznej wysokością prostopadłościanu. Przekątną ściany nazywamy przekątną prostokąta będącego ścianą prostopadłościanu. Przekątną prostopadłościanu nazywamy odcinek łączący dwa wierzchołki prostopadłościanu nienależące do jednej ściany. Prostopadłościan ma 6 ścian, w tym 2 podstawy i 4 ściany

Pole i obwód koła (zadania)

Ważna wiedza w pigułce Oznaczenia r – długość promienia koła d – długość średnicy koła P – pole koła L – obwód koła (długość okręgu) Pole koła P = πr² Obwód koła (Długość okręgu) L = 2πr lub L = πd Uwaga! Pole koła i obwód są ze sobą ściśle związane: większe pole powierzchni – większy obwód, mniejsze pole – mniejszy obwód. NIE MYL POJĘĆ! Zadanie 1. Oblicz pole i

Wielokąty i okręgi

Wiedza w pigułce ZAPAMIĘTAJ! Konstrukcja wielokąta foremnego o n bokach polega na podzieleniu okręgu na n równych części. W ten sposób wyznaczymy na okręgu wierzchołki wielokąta foremnego wpisanego w okrąg. Zadanie 1. Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie wynosi 4√2 cm. Jaką długość ma promień okręgu wpisanego w ten kwadrat? Rozwiązanie: Skorzystamy z tego, że długość promienia okręgu opisanego na kwadracie . W naszym zadaniu czyli po przekształceniu długość boku

Potęgowanie (zadania)

Zadanie na klasówkę Porównaj: Rozwiązanie a) Wystarczy pamiętać, że jeżeli wykładnik potęgi jest liczbą parzystą, to otrzymana potęga jest liczbą dodatnią. Jeżeli natomiast podnosimy liczbę ujemną do wykładnika nieparzystego, to wynik jest liczbą ujemną. b) Ponieważ = 1 dla a ≠ 0, więc c) d)   Pytanie Aby zrobić „Placek babci Jadzi”, należy ubić 3 jajka, dodać szklankę mąki, szklankę cukru, 1/2 łyżeczki proszku do pieczenia, 1/4 łyżki oleju. Ile dekagramów

Pola i obwody wielokątów (zadania)

Zadania na klasówkę! Zadanie 1. Działka jest prostokątem o wymiarach 80 m i 900 dm. Wyraź w arach powierzchnię tej działki. Rozwiązanie: Ponieważ 1 a = 100 m², więc obliczenia najwygodniej prowadzić w metrach. Wymiary działki: a = 80 m, b = 900 dm = 90 m. Stąd P = 80 m ⋅ 90 m = 7200 m² = 72 a Odpowiedź: Powierzchnia działki wynosi 72 ary. Zadanie 2. Podłoga

Kąty w kole )yadania=

To musisz koniecznie wiedzieć! Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołkiem jest środek koła. Kąt wpisany to kąt wypukły, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona przecinają okrąg. Zapamiętaj ważne twierdzenia! Jeżeli kąt środkowy i wpisany oparte są na tym samym łuku, to kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego. Kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.   Z

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary przeciwległych boków równoległych i równej długości. Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości (nie zawsze pod kątem prostym). Przeciwległe kąty są równej miary. Suma miar kątów sąsiednich, czyli leżących przy tym samym boku, wynosi 180° (kąt półpełny). Szczególnymi przypadkami równoległoboku są: romb (o wszystkich bokach takiej samej długości), prostokąt (o wszystkich kątach prostych), kwadrat (o wszystkich bokach takiej samej długości i kątach

Figury geometryczne w układzie współrzędnych

Przed egzaminem koniecznie powtórz: Zaznaczanie punktów o wskazanych współrzędnych. Swobodne odczytywanie współrzędnych punktów. Obliczanie odległości danego punktu od początku układu współrzędnych. Obliczanie odległości dwóch dowolnych punktów. Przekształcanie punktów w symetrii względem osi rzędnych, odciętych i względem początku układu.   Długość odcinka… Jeśli mamy dwa punkty o danych współrzędnych:  i  , to odległość tych punktów (długość odcinka AB) wyraża się następująco: Zwróć uwagę, że… …pozornie trudny wzór na długość odcinka jest w rzeczywistości dziecinnie prosty. Wzór

Funkcja – co to takiego?

Na koniec roku szkolnego nauczyciel wystawia każdemu klasyfikowanemu uczniowi ocenę z matematyki. Czy jakiś uczeń może ukończyć klasę bez oceny? Nie może. Czy jakiś uczeń może otrzymać na koniec roku szkolnego dwie lub trzy oceny z matematyki? Nie może. Każdemu uczniowi przyporządkowano dokładnie jedną końcową ocenę z matematyki. I na tym właśnie polega funkcja… Funkcja – co to takiego? Funkcją ze zbioru A do zbioru B nazywamy takie przyporządkowanie, że każdemu elementowi zbioru A przyporządkowany jest

Twierdzenie Pitagorasa 2

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Twierdzenie Pitagorasa można również przedstawić tak: Suma pól kwadratów A i B jest równa polu kwadratu C. Jeśli wiesz, że trójkąt jest prostokątny, i znasz długość dwóch dowolnych jego boków, to możesz obliczyć długość boku trzeciego. To jest ważne! Wzór a² + b² = c² stosujemy tylko wtedy, gdy literami a, b oznaczone są długości przyprostokątnych, a literą c – długość

Procenty

Procent – co to jest? Zapamiętaj! Procent to setna część całości. Można napisać tak: Znak procentu można zwyczajnie zastąpić ułamkiem . Na przykład: 15% ceny roweru, to 15· 1/100, czyli 15/100 ceny roweru. Cztery klasyczne zadania Każde zadanie związane z obliczeniami procentowymi sprowadza się do jednego z poniższych zagadnień. Jeśli nauczysz się tych schematów, Twoje kłopoty z procentami skończą się raz na zawsze. 1. Oblicz x% z liczby y. Przykład: Wyznacz 6% liczby 150.

Stereometria

Nie trzeba mieć wybitnej wyobraźni przestrzennej, aby prawidłowo rozwiązywać zadania dotyczące brył. Trzeba tylko umieć każdą z tych brył narysować i znać wzory na objętość i pole powierzchni całkowitej. Zapamiętaj! Stereometria to geometria przestrzenna. To koniecznie powtórz przed egzaminem! Rozpoznawanie brył (odróżnianie graniastosłupa od ostrosłupa, graniastosłupa prawidłowego od prostopadłościanu). Obliczanie pola powierzchni całkowitej i objętości brył. Musisz umieć odróżnić… …wysokość bryły od wysokości ściany bocznej. …krawędź podstawy od krawędzi bocznej. Spójrz na przykład! Na

Funkcja. Pojęcie funkcji. Sposoby przedstawiania.

Pojęcie funkcji Pojęcie funkcji w matematyce jest pojęciem podstawowym. Na nim opiera się wiele innych pojęć matematycznych. Należałoby zatem przypomnieć sobie, co oznacza słowo „funkcja”, oraz wszystko to, co wiąże się z tym słowem, w zakresie wiadomości poznanych w szkole podstawowej. Rozważmy więc kilka przykładów wprowadzających ten temat. 1) Mamy zbiór dwóch figur  oraz zbiór trzech kolorów farb {farba czarna, farba niebieska, farba zielona}. Chcemy te figury pomalować używając do

Zbiory i przedziały liczbowe

Czym są zbiory? Najprościej: zbiór to zestaw pewnych elementów. Jakie to mogą być elementy? Najróżniejsze! A najważniejsze jest to, że musisz znać regułę, która określi, jakie elementy będą należały do zbioru. Na przykład jeśli określisz, że do zbioru będą należały tylko domy z czerwonymi dachami, to dom z zielonym dachem znajdzie się poza zbiorem. Sam należysz do zbioru. Jakiego? Na przykład do zbioru osób między drugim a dwudziestym drugim rokiem życia czy do zbioru

Pola figur geometrycznych

Wielokąty Każdy wielokąt jest częścią płaszczyzny ograniczoną odpowiednią łamaną. Wielkość tej części płaszczyzny można zmierzyć. Do mierzenia używamy „jednostek mierzenia pola powierzchni”, które są kwadratami o odpowiedniej długości boku. np.: 1 cm² (centymetr kwadratowy), to kwadrat, którego długość boku wynosi 1 cm 1 m² (metr kwadratowy), to kwadrat, którego długość boku wynosi 1 m. Najczęściej stosuje się poniższe jednostki mierzenia pola powierzchni: Zamiennikiem jest liczba 100. Skacząc w dół o