Breaking news
  • No posts where found

Matematyka

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary przeciwległych boków równoległych i równej długości. Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości (nie zawsze pod kątem prostym). Przeciwległe kąty są równej miary. Suma miar kątów sąsiednich, czyli leżących przy tym samym boku, wynosi 180° (kąt półpełny). Szczególnymi przypadkami równoległoboku są: romb (o wszystkich bokach takiej samej długości), prostokąt (o wszystkich kątach prostych), kwadrat (o wszystkich bokach takiej samej długości i kątach

Figury geometryczne w układzie współrzędnych

Przed egzaminem koniecznie powtórz: Zaznaczanie punktów o wskazanych współrzędnych. Swobodne odczytywanie współrzędnych punktów. Obliczanie odległości danego punktu od początku układu współrzędnych. Obliczanie odległości dwóch dowolnych punktów. Przekształcanie punktów w symetrii względem osi rzędnych, odciętych i względem początku układu. Długość odcinka… Jeśli mamy dwa punkty o danych współrzędnych:  i  , to odległość tych punktów (długość odcinka AB) wyraża się następująco: Zwróć uwagę, że… …pozornie trudny wzór na długość odcinka jest w rzeczywistości dziecinnie prosty. Wzór ten

Funkcja – co to takiego?

Na koniec roku szkolnego nauczyciel wystawia każdemu klasyfikowanemu uczniowi ocenę z matematyki. Czy jakiś uczeń może ukończyć klasę bez oceny? Nie może. Czy jakiś uczeń może otrzymać na koniec roku szkolnego dwie lub trzy oceny z matematyki? Nie może. Każdemu uczniowi przyporządkowano dokładnie jedną końcową ocenę z matematyki. I na tym właśnie polega funkcja… Funkcja – co to takiego? Funkcją ze zbioru A do zbioru B nazywamy takie przyporządkowanie, że każdemu elementowi zbioru A przyporządkowany jest

Twierdzenie Pitagorasa 2

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Twierdzenie Pitagorasa można również przedstawić tak: Suma pól kwadratów A i B jest równa polu kwadratu C. Jeśli wiesz, że trójkąt jest prostokątny, i znasz długość dwóch dowolnych jego boków, to możesz obliczyć długość boku trzeciego. To jest ważne! Wzór a² + b² = c² stosujemy tylko wtedy, gdy literami a, b oznaczone są długości przyprostokątnych, a literą c – długość

Procenty

Procent – co to jest? Zapamiętaj! Procent to setna część całości. Można napisać tak: Znak procentu można zwyczajnie zastąpić ułamkiem . Na przykład: 15% ceny roweru, to 15· 1/100, czyli 15/100 ceny roweru. Cztery klasyczne zadania Każde zadanie związane z obliczeniami procentowymi sprowadza się do jednego z poniższych zagadnień. Jeśli nauczysz się tych schematów, Twoje kłopoty z procentami skończą się raz na zawsze. 1. Oblicz x% z liczby y. Przykład: Wyznacz 6% liczby 150.

Stereometria

Nie trzeba mieć wybitnej wyobraźni przestrzennej, aby prawidłowo rozwiązywać zadania dotyczące brył. Trzeba tylko umieć każdą z tych brył narysować i znać wzory na objętość i pole powierzchni całkowitej. Zapamiętaj! Stereometria to geometria przestrzenna. To koniecznie powtórz przed egzaminem! Rozpoznawanie brył (odróżnianie graniastosłupa od ostrosłupa, graniastosłupa prawidłowego od prostopadłościanu). Obliczanie pola powierzchni całkowitej i objętości brył. Musisz umieć odróżnić… …wysokość bryły od wysokości ściany bocznej. …krawędź podstawy od krawędzi bocznej. Spójrz na przykład! Na

Funkcja. Pojęcie funkcji. Sposoby przedstawiania.

Pojęcie funkcji Pojęcie funkcji w matematyce jest pojęciem podstawowym. Na nim opiera się wiele innych pojęć matematycznych. Należałoby zatem przypomnieć sobie, co oznacza słowo „funkcja”, oraz wszystko to, co wiąże się z tym słowem, w zakresie wiadomości poznanych w szkole podstawowej. Rozważmy więc kilka przykładów wprowadzających ten temat. 1) Mamy zbiór dwóch figur  oraz zbiór trzech kolorów farb {farba czarna, farba niebieska, farba zielona}. Chcemy te figury pomalować używając do

Zbiory i przedziały liczbowe

Czym są zbiory? Najprościej: zbiór to zestaw pewnych elementów. Jakie to mogą być elementy? Najróżniejsze! A najważniejsze jest to, że musisz znać regułę, która określi, jakie elementy będą należały do zbioru. Na przykład jeśli określisz, że do zbioru będą należały tylko domy z czerwonymi dachami, to dom z zielonym dachem znajdzie się poza zbiorem. Sam należysz do zbioru. Jakiego? Na przykład do zbioru osób między drugim a dwudziestym drugim rokiem życia czy do zbioru

Pola figur geometrycznych

Wielokąty Każdy wielokąt jest częścią płaszczyzny ograniczoną odpowiednią łamaną. Wielkość tej części płaszczyzny można zmierzyć. Do mierzenia używamy „jednostek mierzenia pola powierzchni”, które są kwadratami o odpowiedniej długości boku. np.: 1 cm² (centymetr kwadratowy), to kwadrat, którego długość boku wynosi 1 cm 1 m² (metr kwadratowy), to kwadrat, którego długość boku wynosi 1 m. Najczęściej stosuje się poniższe jednostki mierzenia pola powierzchni: Zamiennikiem jest liczba 100. Skacząc w dół o

Wielokąty

Klasyfikacja i własności trójkątów i czworokątów. Część płaszczyzny ograniczoną łamaną zwyczajną zamkniętą wziętą razem z tą łamaną nazywamy wielokątem. Wierzchołki łamanej nazywamy wierzchołkami wielokąta. Boki łamanej nazywamy bokami wielokąta. Odcinek łączący dwa nie kolejne wierzchołki wielokąta nazywamy przekątną wielokąta. Ze względu na ilość boków wielokąty dzielimy na: Trójkąty – 3 boki Czworokąty – 4 boki Pięciokąty – 5 boków Sześciokąty – 6 boków itd. Trójkąty Trójkąty, to wielokąty o najmniejszej

Podstawowe pojęcia geometryczne

Prosta, płaszczyzna, punkt, odcinek, łamana, kąt, rodzaje kątów W geometrii istnieją pojęcia PIERWOTNE, których definicji nie jesteśmy w stanie podać. Do takich pojęć należy: PUNKT, PROSTA, PŁASZCZYZNA.Wszystkie inne pojęcia są pochodnymi pierwotnych i dzięki nim definiowane. PUNKT oznaczamy dużymi literami alfabetu, np.:   • A    • B     • C PROSTE oznaczamy małymi literami alfabetu np. : p Prosta jest to linia, która nie ma ani początku ani końca. Punkt leżący

Konstrukcje geometryczne – ciąg dalszy

Styczna do okręgu. Wielokąty foremne. Kąty środkowy i wpisany. Zadanie 1 Zbuduj prostokąt mając dany jego bok a, oraz kąt ostry α zawarty między przekątną a bokiem a. 1.Na prostej p od punktu A odkładam bok a. Otrzymuję punkt B. 2. Przenoszę kąt α tak aby jego ramieniem była prosta p a wierzchołkiem punkt A. Otrzymuję drugie ramię kąta. 3. W punkcie B wystawiam prostopadłą do prostej p. W przecięciu prostopadłej z drugim

Podstawowe konstrukcje geometryczne

Zadanie 1 Dany odcinek AB podziel konstrukcyjnie na połowy. Opis: Z punktów A i B zataczamy łuki dowolną, ale jednakową rozwartością cyrkla aż do przecięcia się w punktach C i D, które łączymy otrzymując prostą zwaną symetralną odcinka AB. Symetralna w przecięciu z odcinkiem AB tworzy punkt K, który jest jego środkiem. Punkty symetralnej odcinka posiadają tę własność, że ich odległość od końców danego odcinka jest jednakowa, i tak: |AK|

Symetria osiowa i środkowa

Symetria osiowa i środkowa Przekształcenia figur podzielić można na takie, które: nie zmieniają ani kształtu ani wielkości figury, nie zmieniają kształtu, ale zmieniają wielkość figury, zmieniają kształt i wielkość figury. Do grupy pierwszej należą: przesunięcie równoległe, obrót, symetria osiowa, symetria środkowa. Wymienione powyżej przekształcenia noszą nazwę IZOMETRII. W przekształceniach izometrycznych otrzymujemy figury przystające, których: odpowiednie boki są przystające odpowiednie kąty są równe. Grupa druga to:  jednokładność, podobieństwo. Dzięki tym przekształceniom,

Graniastosłupy – zadania

Graniastosłup Graniastosłupem nazywamy figurę przestrzenną, której dwie ściany zwane podstawami są przystającymi wielokątami zawartymi w płaszczyznach równoległych, a ściany boczne są równoległobokami. W graniastosłupie prostym wszystkie ściany boczne są prostokątami oraz są prostopadłe do podstawy. Graniastosłupem prostym czworokątnym jest m. in. prostopadłościan. Graniastosłup prawidłowy (bądź graniastosłup foremny) – to taki graniastosłup prosty, którego każda podstawa jest jakimkolwiek wielokątem foremnym (tj. mającym równe boki oraz takie same kąty). Wielokątami foremnymi są np.: trójkąt równoboczny, kwadrat,

Twierdzenie Pitagorasa- zadania

Wiedza w pigułce Twierdzenie Pitagorasa Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. a, b – długości przyprostokątnych c – długość przeciwprostokątnej Uwaga! Stosując twierdzenie Pitagorasa, można obliczyć długość jednego z boków trójkąta prostokątnego, gdy są znane długości dwóch pozostałych boków. Warto wiedzieć, że… W wielu figurach płaskich poprzez dorysowanie w danej figurze odpowiednich odcinków otrzymujemy trójkąty prostokątne, dla których można stosować twierdzenie Pitagorasa:

Pola i obwody wielokątów (Zadania)

Zadanie 1. Działka jest prostokątem o wymiarach 80 m i 900 dm. Wyraź w arach powierzchnię tej działki. Rozwiązanie: Ponieważ 1 a = 100 m², więc obliczenia najwygodniej prowadzić w metrach. Wymiary działki: a = 80 m, b = 900 dm = 90 m. Stąd P = 80 m ⋅ 90 m = 7200 m² = 72 a Odpowiedź: Powierzchnia działki wynosi 72 ary. Zadanie 2 Podłoga w przedpokoju ma

Wielokąty

Czworokąt – część płaszczyzny ograniczona łamaną zwyczajną zam­kniętą złożoną z czterech odcinków. Przekątna wielokąta to odcinek łączący dwa niekolejne wierzchołki wielokąta. W każdym czworokącie można poprowadzić dwie przekątne. Suma miar kątów wewnętrznych czworokąta wynosi 360°. Zapamiętaj! Wzór na sumę kątów dowolnego wielokąta wypukłego to S = (n-2)⋅180° gdzie n oznacza oczywiście liczbę kątów wielokąta. Wielokąt wypukły to taki, w którym każdy kąt wewnętrzny ma miarę mniejszą niż 180°. Oto cztery wielokąty. Dwa z nich

Potęgowanie

  Działania na potęgach Twierdzenia te musisz znać. Będziesz je stosować w zadaniach!

Pierwiastki

Uwaga! Najniższy stopień pierwiastka wynosi 2 i zgodnie z umową, tej dwójki nie piszemy. Pierwiastek, którego stopień wynosi 2, nazywamy pierwiastkiem kwadratowym lub pierwiastkiem stopnia drugiego. Arytmetycznym pierwiastkiem drugiego stopnia z liczby nieujemnej a nazywamy taką liczbę nieujemną b, która podniesiona do kwadratu równa jest liczbie podpierwiastkowej a. Pierwiastek, którego stopień wynosi 3, nazywamy pierwiastkiem sześciennym lub pierwiastkiem stopnia trzeciego. Arytmetycznym pierwiastkiem trzeciego stopnia z liczby nieujemnej a nazywamy taką liczbę nieujemną