Przed egzaminem koniecznie powtórz:

  • Zaznaczanie punktów o wskazanych współrzędnych.
  • Swobodne odczytywanie współrzędnych punktów.
  • Obliczanie odległości danego punktu od początku układu współrzędnych.
  • Obliczanie odległości dwóch dowolnych punktów.
  • Przekształcanie punktów w symetrii względem osi rzędnych, odciętych i względem początku układu.

 

Długość odcinka…

Jeśli mamy dwa punkty o danych współrzędnych: i , to odległość tych punktów (długość odcinka AB) wyraża się następująco:

Zwróć uwagę, że…
…pozornie trudny wzór na długość odcinka jest w rzeczywistości dziecinnie prosty. Wzór ten wynika bowiem bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa.

Z twierdzenia Pitagorasa dla rysunku wynika, że

Ponieważ różnice i podnosimy do kwadratu, zatem nie ma znaczenia, w jakiej kolejności wstawimy współrzędne do wzoru, bo (p-q)² = (q-p)².

 

Na egzaminie spodziewaj się takiego zadania

Odcinek AB, gdzie A = (–4; 7) i B = (16; 32):
A. przecina prostą y = x
B. nie przecina prostej y = –x + 5
C. ma długość równą 45
D. żadne z powyższych.

Jak to rozwiązać?
Najprościej w tym przypadku sporządzić odpowiedni rysunek.

Nawet szkic wystarczy, by zauważyć, że żadna z odpowiedzi A, B, C nie jest prawdziwa. Zatem prawidłowa odpowiedź to D.

 

Symetrie – popatrz i zapamiętaj!

Przykład
Dany jest punkt A = (2; – 3). Przekształć go kolejno w symetrii:
A. względem osi odciętych
B. względem osi rzędnych
C. względem początku układu współrzędnych.
W każdym z przypadków zapisz współrzędne otrzymanego obrazu.

Rozwiązanie
Aby rozwiązać to zadanie, znów niezbędny jest rysunek.

Pamiętaj, że oś odciętych to oś X, natomiast oś rzędnych to oś Y.

Zauważ, że:

  • Przekształcając punkt A w symetrii względem osi X, zmienia się współrzędna y tego punktu (na przeciwną), natomiast współrzędna x pozostaje bez zmian.
  • Przekształcając punkt A w symetrii względem osi Y, zmienia się współrzędna x tego punktu (na przeciwną), natomiast współrzędna y pozostaje bez zmian.
  • Przekształcając punkt A w symetrii względem początku układu współrzędnych [czyli względem punktu (O; O)], zmieniają się obie współrzędne (na przeciwne).

Rozwiązanie przykładu wygląda tak:
A. A`= (2; 3)
B. A`= (-2; -3)
C. A`= (-2; 3)

 

Linia prosta

Mając dane na płaszczyźnie dwa różne punkty, łatwo narysować prostą przechodzącą przez oba te punkty. Zauważ, że zadanie takie ma zawsze dokładnie jedno rozwiązanie – istnieje tylko jedna prosta przechodząca przez dwa dane punkty. A jak wyznaczyć równanie tej prostej? Po prostu trzeba rozwiązać odpowiedni układ równań…
Wiesz, że równanie prostej to wzór postaci: y = ax + b. Załóżmy, że prosta ma przechodzić przez punkty K = (3; 1) i L = (–2; 5) . Punkty K i L należą do prostej, a więc spełniają jej równanie.
Dla punktu K: x = 3, y = 1, a więc: 1 = a . 3 + b
Dla punktu L: x = –2, y = 5, a więc: 5 = a . (–2) + b

W ten sposób otrzymaliśmy układ równań z niewiadomymi współczynnikami a i b:

Rozwiązując układ, otrzymasz:

Odpowiedź:
Prosta przechodząca przez punkty K i L ma równanie: .