Uwaga!
Objętość ostrosłupa jest trzy razy mniejsza niż objętość graniastosłupa o takiej samej podstawie i wysokości.

Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą, jest dowolnym wielokątem, a pozostałe ściany
są trójkątami mającymi wspólny wierzchołek.

Trójkąty tworzące ściany nazywamy ścianami bocznymi, a ich wspólny wierzchołek – wierzchołkiem ostrosłupa.

Boki podstawy nazywamy krawędziami podstawy, a pozostałe krawędzie – krawędziami bocznymi.

Wysokością ostrosłupa nazywamy odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z jego rzutem prostokątnym na płaszczyznę podstawy.

Punkt będący rzutem prostopadłym wierzchołka ostrosłupa na płaszczyznę podstawy nazywa się spodkiem wysokości.

Ostrosłup prawidłowy (ostrosłup foremny) ma w podstawie wielokąt foremny, a spodek jego wysokości jest środkiem podstawy tzn. jest środkiem okręgu opisanego na podstawie (jest to zarazem środek okręgu wpisanego).
Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

Ostrosłup trójkątny jest inaczej nazywany czworościanem.
Czworościan, którego wszystkie ściany
są trójkątami równobocznymi, nazywamy czworościanem foremnym.

Zapamiętaj!
Czworościan, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi, nazywamy czworościanem foremnym.
Ostrosłup nazywamy prawidłowym, jeżeli jego podstawa jest wielokątem foremnym, a wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

W ostrosłupie prawidłowym:

  • wszystkie krawędzie boczne mają tę samą długość,
  • spodek wysokości jest środkiem okręgu opisanego na podstawie.

 

Zadanie 1.

Na zbudowanie szkieletu ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego krawędzie podstawy mają długość 6 cm, a krawędzie boczne 10 cm, zużyto tyle samo drutu, ile zużyto na zbudowanie dwóch czworościanów foremnych. Oblicz długość krawędzi czworościanu foremnego.

Rozwiązanie:
W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym jest 6 krawędzi podstawy i 6 krawędzi bocznych. Suma tych krawędzi wynosi 96 cm (6 × 6 cm + 6 × 10 cm = 96 cm). Na zbudowanie jednego czworościanu foremnego potrzebujemy 48 cm drutu (96 cm : 2 = 48 cm). Długość krawędzi czworościanu wynosi zatem 8 cm (48 cm : 6 = 8 cm).

 

Zadanie 2.

Piramida ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Ile cm² papieru potrzeba na wykonanie modelu tej piramidy (wraz z podstawą), w którym krawędzie podstawy mają długość 10 cm, a wysokość 12 cm? Ze względu na zakładki zużycie papieru jest większe o 5%. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie:
Piramida ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego.

Pole podstawy wynosi:
Pp = 10 cm · 10 cm = 100 cm²
Chcąc wyliczyć pole powierzchni bocznej, musimy najpierw znać długość wysokości ściany bocznej. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
h² = 12²  5²
Stąd h = 13 cm.

Wzór na pole trójkąta

Pb = 4 · 1/2 · 10 cm · 13 cm = 260 cm²
Pole powierzchni całkowitej wynosi zatem 360 cm².

Teraz musimy doliczyć 5% na zakładki:
360 cm² + 0,05 · 360 cm² = 378 cm²

Odpowiedź: Na wykonanie piramidy potrzeba 378 cm² papieru.

Pamiętaj!
Pole powierzchni ostrosłupa
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe sumie pola podstawy i pól ścian bocznych.

Pc = Pp + Pb

Pc – pole powierzchni całkowitej
Pp – pole powierzchni podstawy
Pb – pole powierzchni bocznej

 

Zadanie 2.

Jaką wysokość ma naczynie w kształcie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego (rysunek), w którym długość krawędzi bocznej wynosi 10√3 cm, a kąt nachylenia tej krawędzi do podstawy wynosi 60°.

Rozwiązanie:
Kąt, o którym mowa w zadaniu, jest zaznaczony na rysunku obok kolorem brązowym. Utworzony trójkąt prostokątny
ma kąty o miarach 30°, 60°, 90°, czyli korzystamy ze znanych nam własności dotyczących długości boków dla tego typu trójkątów.

Odpowiedż
Wysokość naczynia wynosi 15 cm.

Zadanie 4.

Na rysunku przestawiono świeczkę, którą wykonano w wyniku połączenia modelu graniastosłupa prawidłowego czworokątnego i ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Jaka jest wysokość tej świeczki, jeśli na jej wykonanie zużyto 225 cm³ wosku?

Pamiętaj!
Objętość ostrosłupa jest równa 1/3  iloczynu jego pola podstawy i wysokości ostrosłupa.

 

Rozwiązanie:
Przyjmijmy, że wysokość całej świeczki oznaczamy przez H, a wysokość ostrosłupa stanowiącego górną część świeczki przez h.

Objętość całej świeczki możemy zapisać następująco:


Stąd dalej można stwierdzić, że H = 8 cm + 3 cm = 11 cm.

Odpowiedź: Wysokość świeczki wynosi 11 cm.

 

Poćwicz

Zadanie 1.
Zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego sumę długości wszystkich krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, jeżeli kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy ma miarę 45° i wysokość ostrosłupa mierzy x.
A. 8x
B. 4x
C. 4x √2
D. x √2

Własności dotyczące długości boków dla tego typu trójkątów (45°, 90°, 45°.

Wskazówki i rozwiązania:
Po wykonaniu rysunku można zauważyć, że przekątna podstawy ma 2x. Ze wzoru na przekątną kwadratu wynika, że krawędź podstawy wynosi x√2. Obwód podstawy wynosi więc 4x√2
Odpowiedź B.

Zadanie 2.
Metalową kulę o masie 1,632 kg przetopiono na ostrosłup prawidłowy trójkątny o wysokości 12 √3 cm. Oblicz długość krawędzi podstawy ostrosłupa, jeżeli gęstość metalu, z którego wykonany jest drążek, równa się 8,5 g/cm³.

Wskazówki i rozwiązania:
Musimy obliczyć objętość ostrosłupa, korzystając ze wzoru na gęstość

V = 1632 g : 8,5 g/cm³ V = 192 cm³

Stosujemy teraz wzór na objętość ostrosłupa i wyliczamy pole podstawy:

Ponieważ podstawa jest trójkątem równobocznym, więc wykorzystując wzór na pole tego trójkąta, uzyskujemy, że a = 8 cm.