Ważna wiedza w pigułce
Oznaczenia
r – długość promienia koła
d – długość średnicy koła
P – pole koła
L – obwód koła (długość okręgu)
Pole koła
P = πr²
Obwód koła (Długość okręgu)
L = 2πr lub L = πd
Uwaga!
Pole koła i obwód są ze sobą ściśle związane:
- większe pole powierzchni – większy obwód,
- mniejsze pole – mniejszy obwód.
NIE MYL POJĘĆ!
Zadanie 1.
Oblicz pole i obwód koła o średnicy 22 dm.
Rozwiązanie: Wystarczy stwierdzić, że skoro średnica wynosi 22 dm, to promień jest równy 11 dm. Zatem po podstawieniu do wzorów na pole koła P = πr² mamy:
P = π . 11² = 121π [dm²]
Wzór na obwód koła L = πd
L = π . 22 = 22π [dm]
Odpowiedź: Pole koła wynosi 121π dm², a obwód 22π dm.
Zadanie 2.
Długość połowy okręgu wynosi 8π cm. Jaką długość ma promień tego okręgu?
Rozwiązanie: Skoro długość połowy okręgu wynosi 8π cm, to cały okrąg ma długość 16π cm. Z tego wynika, że 16π cm = 2πr, czyli r = 8 cm.
Odpowiedź: Promień okręgu wynosi 8 cm.
Zadanie 3.
Pole serwetki w kształcie koła wynosi 1,96π dm². Ile co najmniej centymetrów koronki trzeba kupić na jej obszycie?
Przyjmij w obliczeniach p ≈ 22/7.
Rozwiązanie: Ze wzoru na pole koła wyliczamy długość promienia serwetki: 1,96π dm² = πr² , czyli
. Obliczamy teraz obwód koła o promieniu 14 cm:
Odpowiedź: Na obszycie serwetki trzeba kupić co najmniej 88 centymetrów koronki.
Zadanie 4.
Jaką drogę pokonuje koniec małej wskazówki zegara w ciągu 2 godzin, jeżeli jej długość wynosi 6 cm?
Rozwiązanie: Musimy obliczyć długość łuku Ł określonego przez promień r = 6 cm (długość wskazówki) i kąt środkowy równy 60° (tarcza zegara została podzielona na 12 godzin, czyli w ciągu godziny wskazówka obraca się o 360° : 12 = 30°, a w czasie dwóch godzin o 60°).
Ponieważ obwód koła wynosi 2π·6 = 12π [cm], zatem
Odpowiedź: Koniec małej wskazówki zegara pokonuje drogę równą 2π cm.
Zadanie 5.
Staw w parku ma kształt koła o średnicy 7 m. Wokół niego znajduje się ścieżka o szerokości 1 m.
a) Oblicz powierzchnię stawu.
b) Oblicz powierzchnię ścieżki.
Rozwiązanie
a) Średnica stawu wynosi 7 m, czyli jego promień wynosi 3,5 m:
Pole powierzchni to P = π·r²= π·(3,5)² = 12,25π [m²]
b) P = π·(4,5)² – π·(3,5)² = 8π [m²]
Odpowiedź: Powierzchnia stawu wynosi 12,25π m², a powierzchnia ścieżki 8π m².
Zadanie 6.
Promień koła samochodu pana Mateusza ma 30 cm. Ile obrotów wykona to koło na drodze długości 10 km?
Rozwiązanie:
Liczymy obwód koła, przyjmując p≈3,14.
L ≈ 2 . 3,14 . 30 cm ≈ 188,4 cm ≈ 1,884 m
Teraz trzeba tylko wykonać dzielenie:
10 km : 1,884 m = 10 000 m : 1,884 m ≈ 5307.
Odpowiedź: Koło wykona około 5307 obrotów.
Zadanie 7.
Na lekcji jazdy konnej dzieci dosiadały konia prowadzonego po okręgu na napiętej uwięzi o długości 5 m. Jaką drogę pokonał koń, jeżeli łącznie przebył 40 okrążeń? Wynik zaokrąglij do 0,1 km.
A. Około 1,3 km
B. Około 1 km
C. Około 0,2 km
D. Około 12,6 km
Rozwiązanie: Stosując wzór na obwód koła, obliczymy długość drogi przebytej przez konia podczas jednego okrążenia (przyjmujemy π≈3,14):
2 . 3,14 . 5 m ≈ 31,4 m.
Stąd otrzymujemy dalej, że:
40 . 31,4 m ≈ 1256 m ≈ 1,256 km ≈ 1,3 km
Odpowiedź: A. Koń przebył drogę równą około 1,3 km (A).
Zadanie na szóstkę!
Koło i kwadrat mają równe obwody. Oblicz stosunek ich pól.
Rozwiązanie: Ze wzoru na obwód koła ustalamy długość promienia koła, a potem wyliczamy pole koła (Pk):
L = 2πr, czyli
Podobne przekształcenia wykonamy dla kwadratu, obliczając najpierw długość jego boku, a następnie pole:
L = 4a, czyli
Liczymy teraz stosunek pola koła do pola kwadratu:
Odpowiedź: Stosunek pola koła do pola kwadratu wynosi 4/π.
Ćwiczenia
1) Pole pizzy o średnicy 26 cm wynosi
A. 676π cm²
B. 169π cm²
C. 52π cm²
D. 26π cm²
2) Jaki promień ma okrąg, w którym kąt środkowy o mierze 90° jest oparty na łuku o długości 5π cm?
A. 2,5 cm
B. 5 cm
C. 10 cm
D. 20 cm
3) Jaki obwód ma koło, w którym wycinkowi o polu 27π odpowiada kąt o mierze 120°?
A. 9π
B. 18π
C. 27π
D. 81π
4) Z prostokątnego kawałka materiału wycięto dwie serwety w kształcie koła (rysunek).
Pole pozostałej części materiału (szary obszar) wynosi:
A. (2 – 0,5π) m²
B. (2 – 0,25π) m²
C. (2 – 2π) m²
D. (2 – π) m²
5) Pole pierścienia kołowego przedstawionego na rysunku wynosi:
A. 4π
B. 2π
C. 64π
D. 16π
Odpowiedzi i uwagi
1) B.
d = 26 cm, czyli r = 13 cm. Zatem P = 169π cm²
2) C.
Długość całego okręgu wynosi L = 20π cm, czyli r = 10 cm
3) B.
Pole całego koła wynosi P = 3.27π= 81π. Stąd r = 9 i dalej L = 18π
4) A.
Pole prostokąta wynosi 2 m², promień koła r = 0,5 m, pole jednego koła jest równe P = 0,25πm². Stąd pole szarego obszaru to (2 – 0,5π) m²
5) D.
Promień dużego koła wynosi 5, czyli pole ma 25π. Promień małego koła jest równy 3, zatem pole wynosi 9π. Pole pierścienia to różnica pól tych kół, czyli jest to 16π.