Wiedza w pigułce
ZAPAMIĘTAJ!
Konstrukcja wielokąta foremnego o n bokach polega na podzieleniu okręgu na n równych części. W ten sposób wyznaczymy na okręgu wierzchołki wielokąta foremnego wpisanego w okrąg.
Zadanie 1.
Długość promienia okręgu opisanego na kwadracie wynosi 4√2 cm. Jaką długość ma promień okręgu wpisanego
w ten kwadrat?
Rozwiązanie:
Skorzystamy z tego, że długość promienia okręgu opisanego na kwadracie 
. W naszym zadaniu 
czyli po przekształceniu długość boku kwadratu a=8 cm. Zatem długość promienia okręgu wpisanego w ten
kwadrat 
Odpowiedź:
Długość promienia okręgu wpisanego w ten kwadrat wynosi 4 cm.
Zadanie 2.
O ile mniejsze jest pole trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o promieniu 2√3 od pola trójkąta równobocznego opisanego na tym okręgu?
Rozwiązanie:
Osobno wykonamy obliczenia dla małego i dużego trójkąta:
I Skoro trójkąt jest wpisany w okrąg, to okrąg jest opisany na tym trójkącie. Promień tego okręgu stanowi zatem 2/3 wysokości trójkąta równobocznego. Mamy więc
Po przekształceniu otrzymujemy a = 6. Obliczamy teraz pole mniejszego trójkąta
II Podobne obliczenia wykonamy dla większego trójkąta. Zauważyć trzeba, że skoro trójkąt równoboczny opisany jest na okręgu, to okrąg jest w ten trójkąt wpisany. Korzystamy zatem z tego, że promień równa się 1/3 h
Ostatecznie
Dalej obliczamy różnicę pól trójkątów równobocznych 36√3 – 9√3=27√3.
Odpowiedź:
Różnica pól trójkątów równobocznych wynosi 27√3.
Zadanie 3.
Pole sześciokąta foremnego wynosi 150√3 cm². Oblicz pole pierścienia kołowego utworzonego przez okrąg wpisany w sześciokąt foremny i okrąg opisany na tym sześciokącie foremnym.
Rozwiązanie:
Sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych, czyli 
.
Po wymnożeniu obustronnym przez 
mamy, że a²=100, czyli a=10 [cm]. Teraz określimy długość promieni okręgów i pola kół:
- długość promienia okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
[cm], pole koła P=πr²
Pw = π(5√3)² =75π [cm²];
- długość promienia okręgu opisanego na sześciokącie foremnym R=a=10 [cm], pole koła Po= π.10² =100π [cm²].
Wzór na pole pierścieni P = π · (R²−r²)
Pole pierścienia kołowego Pp=100π – 75π = 25π [cm²].
Odpowiedź: Pole pierścienia kołowego wynosi 25π cm².
Zadanie 4.
Oblicz pole ośmiokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 2 cm.
Rozwiązanie:
Zauważmy, że ośmiokąt foremny powstaje w wyniku podziału okręgu na 8 równych części. Wyznaczone w ten sposób kąty środkowe mają po 45°.
Powstało zatem 8 trójkątów równoramiennych. Wystarczy teraz wyliczyć pole jednego z nich i pomnożyć przez 8.
Długości odcinków AC i AB są równe promieniowi okręgu, czyli 2 cm, trójkąt ADC jest równoramienny, bo kąt DAC jest równy kątowi ACD oraz kąt ADC jest kątem prostym. Z tego wynika, że AD=DC=h oraz 2=h√2, czyli h=√2 [cm]. Pole trójkąta ABC wynosi więc
Stąd pole ośmiokąta P = 8√2 [cm²].
Odpowiedź:
Pole ośmiokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 2 cm wynosi 8√2 cm².
Pytanie z podręcznika
Klomb ma kształt sześciokąta foremnego o boku 2 m. Ogrodnik postanowił zmienić kształt tego klombu („ścinając” wierzchołki) na możliwie duże koło i zasadzić na nim bratki. Na 1m² ogrodnik planuje posadzić 80 kępek bratków. Ile kępek bratków powinien przygotować?
Rozwiązanie:
Promień koła (klombu po „ścięciu” wierzchołków sześciokąta foremnego) jest równy 
Możemy teraz obliczyć pole koła o tym promieniu
P = π(√3)²= 3π [m²]. Skoro na 1 m² ogrodnik planuje posadzić 80 kępek bratków, to na 3π [m²] trzeba przygotować 3π·80=240π≈750 kępek bratków.
Odpowiedź: Ogrodnik powinien przygotować ok. 750 kępek bratków.
Zadania na szóstkę
W trapez prostokątny wpisano okrąg o promieniu długości 3 cm. Ramię jest nachylone do podstawy pod kątem 60°. Oblicz obwód trapezu.
Rozwiązanie: Wykonamy pomocniczy rysunek i znajdziemy długości wszystkich boków trapezu.
Zauważmy, że AG = EO = EO = DG = 3 cm, czyli ramię AD = 6 cm.
Ponieważ AD = CF = 6 cm i kąt FBC jest równy 60°, to CF = FB√3, 6 = FB√3, czyli FB = 2√3[cm] oraz BC = 4√3 cm. Kąt EBO jest równy 30°, czyli EB = EO√3 = 3√3 cm. Stąd AB = AE + EB, czyli AB = 3+3√3 cm. Teraz obliczymy długość górnej podstawy CD = AF =AB – FB. Mamy zatem L =3+3√3+4√3+3+√3+6=12+8√3=4(3+2√3) cm.
Odpowiedź: Obwód trapezu wynosi 4(3+2√3) cm.