WYRAŻENIEM (w sensie matematycznym) nazywamy pojedynczą liczbę lub zmienną literową, albo kilka liczb czy zmiennych literowych połączonych znakami działań. Np.:

 5;  -a;  4 + x; ; 6(y + 1)2;

 

Wyrażenia dzielimy na:

1. ARYTMETYCZNE, jeśli występują tylko elementy zbiorów liczbowych.
5 +2; ; 8 – (-4); – to wyrażenia arytmetyczne (nie zawierają liter (zmiennych);

2. ALGEBRAICZNE (lub literowe) – jeśli występuje chociażby jedna zmienna literowa.
2x;  5x – 9;  4(a + p) – to wyrażenia algebraiczne (tworzymy przez połączenie symboli literowych oraz liczb znakami działań i nawiasów).

Każde wyrażenie, czy to arytmetyczne, czy też algebraiczne, posiada swoją nazwę, którą bierze od ostatniego wykonywanego działania, np.:

2x – y – różnica iloczynu 2 przez x i zmiennej y;
a² + b² – suma kwadratów zmiennych a i b;
2(x+y)³- iloczyn liczby 2 i sześcianu sumy zmiennych x i y;
 – iloczyn, którego licznik jest różnicą iloczynów 5 przez a i 2 przez b a mianownik liczbą 6

Wyrażenie algebraiczne nie posiada określonej wartości liczbowej, dopóki nie wstawimy w miejsce zmiennych (liter) konkretnych liczb. Wyrażenie algebraiczne zamienia się wtedy w wyrażenie arytmetyczne o ustalonej wartości liczbowej. Np.


dla a = 1 i b = -2, posiada wartość:

To samo wyrażenie dla a = -2 i b = 3, posiada wartość:

Prostymi wyrażeniami algebraicznym są jednomiany – wyrażenia, która są pojedynczymi liczbami, literami lub iloczynami liczb i liter, np.
4y, 3y, z, -3, 5ab itd.

Zapamiętaj!
JEDNOMIANEM nazywamy iloczyn czynników cyfrowych lub literowych, albo pojedynczy znak liczby, czy zmiennej literowej.

Bardzo ważną czynnością jest uporządkowanie jednomianu.

 

Uporządkować jednomian, to znaczy:

  1. Wymnożyć wszystkie czynniki cyfrowe,
  2. Ułożyć zmienne literowe w kolejności alfabetycznej,
  3. Zastąpić iloczyn jednakowych zmiennych literowych, ich potęgą,

Uporządkujmy jednomian:

  • 1. Mnożymy czynniki cyfrowe ustalając współczynnik całego jednomianu.

  • 2. zmienne układamy w kolejności alfabetycznej

  • 3. jednakowe czynniki zastępujemy potęgą

Zatem uporządkowany jednomian ma postać ładniejszą niż początkowy, a mianowicie

Jednomiany można dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić.

1. Mnożąc dwa lub więcej jednomianów, otrzymamy jednomian, np.:


Wynik mnożenia jest jednomianem

2. Dzieląc dwa jednomiany otrzymamy UŁAMEK ALGEBRAICZNY, np.:

Ułamek ma sens liczbowy tylko wtedy, gdy jego mianownik nie jest równy zero, więc w naszym przykładzie nie wolno podstawiać zamiast d zera.

Piszemy:

UŁAMEK ALGEBRAICZNY, to szersze pojęcie niż iloraz dwóch jednomianów. W jego liczniku i mianowniku mogą występować nie tylko jednomiany. Mogą to być wyrażenia algebraiczne i wtedy ułamek przybiera bardziej złożoną postać, np.:

Ułamki algebraiczne można

  • skracać, np.: dzieląc licznik i mianownik przez taki sam jednomian (w tym wypadku )

  • lub rozszerzać: mnożąc jego licznik i mianownik  przez taki sam jednomian (w tym przypadku 3p).

Ułamki algebraiczne można także:

  • dodawać
  • odejmować
  • mnożyć
  • dzielić

stosując te same prawidła jak w działaniach na ułamkach arytmetycznych, np.:

1.

2.

3.

4.

Warto zapamiętać, że:

  • I. wartość ułamka algebraicznego równa jest zeru, gdy jego licznik równy jest zeru.
    np.: 

gdy x = 0, wtedy podstawiając x = 0 mamy:

  • II. ułamek traci sens liczbowy, gdy jego mianownik równy jest zeru.
    np.: 

gdy x = 5, wtedy:  dzielenie nie jest wykonalne czyli ułamek nie ma sensu liczbowego.

Dodając lub odejmując jednomiany otrzymamy SUMĘ ALGEBRAICZNĄ.
Dodawane jednomiany nazywamy wyrazami sumy algebraicznej.

W sumach algebraicznych można dodawać lub odejmować tylko WYRAZY PODOBNE tzn. takie, które mają takie same zmienne literowe w tej samej potędze, a różnią się jedynie współczynnikami cyfrowymi. Mówimy wtedy, że dokonaliśmy REDUKCJI WYRAZÓW PODOBNYCH.
Polega ona na tym, że dodajemy lub odejmujemy współczynniki cyfrowe wyrazów, a zmienne literowe zostają bez zmiany.

Sumy algebraiczne można:

  • dodawać
  • odejmować – otrzymujemy w wyniku sumę algebraiczną
  • mnożyć
  • dzielić – otrzymujemy ułamek algebraiczny lub sumę algebraiczną

1. Przy dodawaniu sum algebraicznych opuszczamy nawiasy pozostawiając znaki wyrazów dodawanych bez zmiany i wykonujemy redukcję wyrazów podobnych doprowadzając do najprostszej postaci, np.:

2. Przy odejmowaniu sum algebraicznych opuszczamy nawiasy pamiętając o zmianie znaków wyrazów w nawiasie, przed którym stał minus, a dalej redukujemy wyrazy podobne również doprowadzając do najprostszej postaci, np.:

3. Mnożąc sumę algebraiczną przez jednomian mnożymy po kolei każdy wyraz tej sumy przez dany jednomian i redukujemy wyrazy podobne, jeśli to możliwe, np.:


4. Dzieląc sumę algebraiczną przez jednomian wykonujemy dzielenie po kolei każdego wyrazu tej sumy przez dany jednomian i redukujemy wyrazy podobne, jeśli jest to możliwe, np.:

5. Mnożąc sumy algebraiczne przez siebie musimy wymnożyć każdy wyraz jednej sumy przez każdy wyraz drugiej sumy i otrzymane wyrazy zredukować, jeśli jest to możliwe, np.:


        L                           P

Interpretacja geometryczna tego mnożenia jest następująca:

Lewa strona L, to pole prostokąta, którego długości boków wynoszą
(a + b) i (c + d)
Prawa strona P, to suma pól części składowych tego prostokąta
czyli ac + ad + bc + bd

Przykład:

Szczególnym przypadkiem mnożenia sum algebraicznych jest mnożenie jednakowych czynników, np.: (a + b)(a + b) czyli . W interpretacji geometrycznej wygląda to tak:

Pole kwadratu o boku (a + b) czyli jest równe
sumie pól kwadratów  oraz prostokątów ab i ab, stąd

Jest to wzór należący do wcale niemałej grupy wzorów skróconego mnożenia, które to, jak sama nazwa wskazuje, ułatwiają mnożenie.
Inne wzory z tej rodziny to:

Przykłady:

Ćwiczenie:

Oblicz wartość liczbową wyrażenia:

1. Wykonuję mnożenie sum algebraicznych oraz stosuję wzory skróconego mnożenia.

2. Opuszczam nawiasy w liczniku i stosuję redukcję wyrazów podobnych. Podstawiam wartości liczbowe zmiennych i otrzymuję:

Do działañ na sumach algebraicznych stosuje się te same prawa co do działañ na liczbach rzeczywistych, a mianowicie:

  • w dodawaniu – przemienność, łączność;
  • w mnożeniu– przemienność, łączność, rozdzielność;
  • w dzieleniu– rozdzielność.

Prawo rozdzielności ma również zastosowanie w wyłączaniu czynnika poza nawias. Jest to sposób zamiany sumy algebraicznej na iloczyn (postać iloczynowa jest ważną postacią wyrażenia algebraicznego), np.:

Sumę na iloczyn możemy zamienić stosując również:

  • wzory skróconego mnożenia, np.:
  • grupując wyrazy, np.:

Podsumowując, możemy stwierdzić, że zamiana sumy na iloczyn odbywa się poprzez:

  1. wyłączanie wspólnego czynnika poza nawias,
  2. stosowanie wzorów skróconego mnożenia,
  3. grupowanie wyrazów.

Często łączymy te sposoby korzystając z nich równocześnie, np.:

Dział matematyki zajmujący się między innymi wyrażeniami algebraicznymi nazywa się ALGEBRY.