Drgania harmoniczne

Gdzie w naszym otoczeniu ­odbywa się ruch drgający?

Wiele obiektów w Twoim otoczeniu skacze rytmicznie lub porusza się tam i z powrotem. Wiesz już z gimnazjum, że taki ruch nazywamy wibracją, oscylacją lub drganiem. Drganiem jest na przykład ruch:

• huśtawki,
• wahadła zegara,
• szarpniętej struny gitary,
• strun głosowych człowieka,
• jonów w sieci krystalicznej metalu,
• skrzydeł owadów,
• prądu zmiennego w obwodzie elektrycznym,
• tłoka w silniku spalinowym.

1. Jak opisujemy ruch drgający?

Do opisu ruchu drgającego służą następujące pojęcia:

  • Położenie równowagi to położenie ciała zanim zostanie ono wprawione w ruch drgający.
  • Wychylenie to współrzędna położenia ciała drgającego w pewnej chwili, równa jego odległości od położenia równowagi.
  • Amplituda (A) to maksymalne wychylenie ciała z jego położenia równowagi.
  • Okres drgań (T) to czas, w którym ciało wykona jedno pełne drganie i powróci do swojego położenia początkowego.
  • Częstotliwość drgań (n – czyt. ni) to liczba drgań przypadająca na jednostkę czasu.

Skojarz na przykładzie!
Ciężarek zawieszony na sprężynie wykonuje takie drgania, że jedno pełne wahnięcie trwa 2 s. Ten czas to okres drgań. Z gimnazjum pewnie pamiętasz, że odwrotność okresu pozwala wyznaczyć częstotliwość drgań, zgodnie ze wzorem:

Hz to skrót podstawowej jednostki częstotliwości, czyli herca. 1 herc odpowiada takiej częstotliwości drgań, gdy w ciągu jednej sekundy odbywa się jedno pełne drganie.

2. Kiedy drgania nazywamy harmonicznymi?

Układy ciał drgających mogą mieć różną naturę, ale dla małych drgań opis ruchu drgającego jest zawsze jednakowy. Przyczyną każdego ruchu drgającego jest działanie na ciało pewnej siły. Siła ta jest zwrócona zawsze w stronę położenia równowagi drgającego ciała. Ruch drgający nazywamy ruchem harmonicznym, jeśli tylko siła, wymuszająca ten ruch (F), jest proporcjonalna do wychylenia ciała z położenia równowagi (x).
Zapisujemy to wzorem:

F = k · x

Symbol k to tzw. współczynnik sprężystości, który określa np. własności używanej sprężyny (miękka, twarda).

Skojarz na przykładzie!
Ruchem harmonicznym drga ciężarek na sprężynie, ale jest nim również ruch wahadła. Dla małych kątów wychylenia wahadła siłą wymuszającą ruch drgający jest wypadkowa siły ciężkości i siły reakcji nici. Jej wartość rośnie wraz z wychyleniem wahadła, a maleje, gdy wahadło zbliża się do położenia równowagi.

 

3. Jakim ruchem porusza się ciało wykonujące drgania?

Wartość siły, która odpowiada za drgania, jest proporcjonalna do wychylenia wahadła lub wydłużenia sprężyny. Im większe wychylenie wahadła, tym większa siła działająca w stronę położenia równowagi. Znasz już drugą zasadę dynamiki i wiesz, że działanie większej siły oznacza nadanie ciału większego przyspieszenia, a działanie mniejszej siły oznacza mniejsze przyspieszenie. Ciało, drgając, porusza się więc ruchem niejednostajnie zmiennym.

Skojarz na przykładzie!
Gdy wahadło zbliża się do położenia równowagi, to jego ruch jest przyspieszony niejednostajnie. Siła maleje, a wraz z nią maleje przyspieszenie. Po przejściu przez położenie równowagi ruch wahadła staje się ruchem opóźnionym niejednostajnie. Siła jest teraz zwrócona przeciwnie do ruchu wahadła, a jej wartość rośnie z wychyleniem. W punkcie najwyższego wychylenia siła ma największą wartość i pod jej wpływem zaczyna się znów ruch przyspieszony…

4. Jakie przemiany energii zachodzą podczas ruchu wahadła?

Łatwo zauważyć, że postać energii mechanicznej wahadła ulega nieustannym zmianom. Wahadło wychylone z położenia równowagi ma w skrajnym położeniu tylko energię potencjalną ciężkości. Liczymy ją względem poziomu zerowego, którym jest położenie równowagi. Podczas ruchu wahadła energia potencjalna maleje, bo maleje wysokość. Jednocześnie rośnie energia kinetyczna, bo rośnie prędkość ciała. Podczas przechodzenia przez punkt równowagi, cała energia wahadła jest tylko energią kinetyczną. Jeśli żadne siły zewnętrzne nie przeszkadzają w ruchu takiego wahadła, czyli jego ruch nie jest tłumiony, to obowiązuje znana Ci z gimnazjum zasada zachowania energii.
Całkowita energia wahadła jest stała, ale podczas kolejnych wahnięć nieustannie zmienia postać – z energii potencjalnej na kinetyczną i odwrotnie.

5. Co to jest okres drgań własnych wahadła?

Każde z ciał drgających ma pewien stały, własny rytm drgań, w którym zawsze drga, jeśli tylko ma szansę. Nie ma więc znaczenia, o jaki kąt wychylimy wahadło z położenia równowagi, gdyż dla małych kątów jego okres drgań (T) zależy wyłącznie od długości wahadła (l).

Zapisujemy to wzorem:

Każde wahadło ma więc swój własny okres drgań, zwany okresem drgań własnych. Odwrotność okresu drgań włas­nych nazywamy częstotliwością drgań własnych.

Skojarz na przykładzie!
Na pewno znasz zegar napędzany wahadłem. Wahadło porusza się w nim z dużą regularnością. Jest tak dlatego, że czas jednego pełnego wahnięcia tam i z powrotem nie zależy ani od masy wahadła, ani od wielkości łuku, jaki ono przebywa. Zależy jednak od jego długości. Zgodnie ze wzorem im dłuższe wahadło, tym dłuższy jest jego okres. Obserwujemy więc, że jego ruchy są wolniejsze. Podobnie jest z dziecięcą huśtawką. Każda huśtawka ma własny okres drgań zależny od jej długości.

6. Co to jest rezonans?

Jeśli drgania ciała są wymuszane przez siłę zewnętrzną, która zmienia się okresowo, w rytm drgań własnych ciała, to zachodzi rezonans. Amplituda takich drgań gwałtownie rośnie, bo okresowe działanie siłą powoduje, że drgającemu ciału ciągłe przekazywana jest energia.

Skojarz na przykładzie!

  • 1. Na wykorzystaniu zjawiska rezonansu polega na przykład umiejętność nadawania huśtawce dużej amplitudy drgań. Wychylenia ciała, siedzącego na huśtawce dziecka, muszą zachodzić w takt drgań własnych huśtawki. Dziecko stojące obok huśtawki może też łatwo rozhuśtać dorosłego człowieka, czyli gwałtownie zwiększyć amplitudę drgań własnych huśtawki. Wystarczy, że będzie popychać huśtawkę zgodnie z jej kierunkiem ruchu przy użyciu niewielkiej siły, ale dokładnie w rytmie jej drgań własnych.
  • 2. Podobnie zachowują się ludzie próbujący popchnąć samochód, który utknął w śniegu lub błocie. Najpierw starają się go rozkołysać, a potem popychają go rytmicznie w przód i w tył, zwiększając w ten sposób jego amplitudę drgań własnych.

PODYSKUTUJ: