Działania na zbiorach

Zbiorem nazywamy zwykle jakąś grupę przedmiotów czy też obiektów. W matematyce takimi obiektami są punkty, liczby lub figury.

Co to jest element zbioru?

Elementem zbioru jest każdy obiekt należący do tego zbioru. Jeśli zbiór nie zawiera żadnych elementów, to nazywamy go zbiorem pustym i oznaczamy ø. Możemy też podać elementy, które nie należą do jednego zbioru, ale należą do drugiego. Jeśli element a należy do zbioru A, to zapisujemy:

a ∈ A

Jeśli b nie należy do zbioru A, to zapiszemy:

b ∉ A

Spójrz na przykład

A – zbiór uczniów klasy Ib, którzy uczą się francuskiego
B – zbiór uczniów klasy Ib
C – zbiór uczniów klasy Ic

W tym przypadku każdy uczeń klasy Ib należy do zbioru uczniów tej klasy, co zapiszesz:
{uczeń klasy Ib} ∈ B
Możesz również zapisać:
{uczeń klasy Ic} ∉ B
Jeśli w klasie Ib nie ma osób uczących się francuskiego, to znaczy, że zbiór A jest zbiorem pustym, czyli:
A = Ø

Kiedy jeden zbiór zawiera się w drugim?
Jest tak wtedy, gdy wszystkie elementy pierwszego zbioru (A) są jednocześnie elementami zbioru drugiego (B). Zbiór pierwszy nazywamy wtedy podzbiorem zbioru drugiego, co zapisujemy:

A ∈ B

W naszym przykładzie zbiór osób uczących się francuskiego jest podzbiorem zbioru uczniów klasy Ib.

Czym jest iloczyn dwóch zbiorów?
Iloczyn dwóch zbiorów to inaczej ich część wspólna, która też jest pewnym zbiorem. Do tej części należą takie elementy, które są zarówno w jednym, jak i w drugim zbiorze.

Spójrz na przykład
Jeśli weźmiesz pod uwagę zbiór uczniów klasy Ib (zbiór B) i zbiór uczniów, którzy udzielają się w szkolnym kole teatralnym (zbiór T), to iloczyn takich dwóch zbiorów (B ∩ T) można przedstawić następująco:

. B ∩ T
Uczniowie z klasy 1b, którzy biorą udział w zajęciach szkolnego koła teatralnego.

Gdyby żaden z uczniów klasy Ib nie należał do koła teatralnego, to można byłoby zapisać:

B ∩ T = Ø

Na rysunku wyglądałoby to tak:

Co to jest suma dwóch zbiorów?
Sumę dwóch zbiorów stanowi zbiór wszystkich tych elementów, które należą do pierwszego i do drugiego zbioru.

Spójrz na przykład

B ∪ T

Sumę zbiorów tworzą ci uczniowie, którzy są w Ib lub też uczestniczą w zajęciach koła teatralnego.

Jak określić różnicę dwóch zbiorów?
Różnica dwóch zbiorów stanowi zbiór tych elementów, które należą do jednego zbioru, ale nie należą do drugiego.

Spójrz na przykład

T– B

Zbiór tych uczniów, którzy należą do koła teatralnego, ale nie są uczniami klasy Ib.

Kiedy zbiór jest skończony?
Zbiór jest skończony, jeśli jesteśmy w stanie podać wszystkie jego elementy, lub określić, z ilu elementów się składa. Jeśli nie możemy podać wszystkich elementów, to zbiór jest nieskończony. Taki zbiór opisujemy wówczas, podając własność, jaką spełniają elementy zbioru.

Jakie są podstawowe zbiory liczb?

  • Zbiór, w którym wykonujemy wszystkie działania na lekcjach matematyki, to zbiór liczb rzeczywistych (R). Liczby te można podzielić na liczby wymierne i pozostałe, zwane liczbami niewymiernymi.
  • Liczby wymierne (W) to takie, które dają się przedstawić w postaci ułamka (ilorazu) dwóch liczb całkowitych. Jeśli liczby nie da się w ten sposób zapisać, to jest ona liczbą niewymierną (NW) ( np. π, √2, √3).
  • W zbiorze liczb wymiernych zawiera się zbiór liczb całkowitych (C), a w nim zbiór liczb, które znasz już od przedszkola czyli liczby naturalne (N). Są to liczby całkowite dodatnie. Często zalicza się do tego zbioru również liczbę 0. Poza tym wyróżniamy jeszcze zbiór liczb całkowitych ujemnych.

Jak określamy przedziały na osi liczbowej?
Oś liczbową znasz już z gimnazjum. Jest ona geometrycznym przedstawieniem zbioru liczb rzeczywistych. To znaczy, że każdy punkt osi odpowiada pewnej liczbie rzeczywistej.

Na osi liczbowej możemy również określać przedziały liczbowe, czyli zbiory liczb zawartych między pewnym liczbami, zwanymi końcami przedziału. Są nimi półproste lub odcinki osi. W zależności od tego, czy liczby znajdujące się na końcach przedziałów, jeszcze do nich należą czy też nie, mamy różne rodzaje przedziałów.

Czym jest wartość bezwzględna liczby?
Wartością bezwzględną każdej liczby rzeczywistej jest jej odległość na osi liczbowej od punktu zero. To znaczy, że taką samą wartość bezwzględną mają zawsze dwie liczby: dana liczba i liczba do niej przeciwna (czyli z przeciwnym znakiem).

Gdy musimy określić wartość bezwzględną całego wyrażenia (W), to możemy posłużyć się następującym szablonem:

Jak to działa… czyli sprawdź się w zadaniach!

1. Przyjmij następujące oznaczenia:

T – zbór wszystkich trójkątów,
R – zbiór trójkątów równoramiennych,
B – zbiór trójkątów równobocznych,
P – zbiór trójkątów prostokątnych.

Oceń, które z podanych zdań są prawdziwe?

a) R ∪ B = R
b) B ∩ P = Ø
c) R ∩ P = Ø
d) T ∩ P = P
e) R ∈ B
f) R ∩ B = B

Rozwiązanie
Przy rozwiązaniu zadania dobrze pomóc sobie rysunkiem.

Na maturze musisz umieć:

  • wyznaczać sumę, iloczyn i różnicę zbiorów,
  • znać podzbiory zbioru liczb rzeczywistych,
  • określać przedziały na osi liczbowej oraz wyznaczać sumę, iloczyn i różnicę przedziałów liczbowych.

 

PODYSKUTUJ: