Na teście na pewno pojawi się przynajmniej jedno zadanie z geometrii.
Musisz koniecznie umieć…
…twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym. Treść tego twierdzenia jest bardzo prosta.
Zapamiętaj!
Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.
Kąt wpisany i środkowy to pojęcia dotyczące kątów w kole (lub w okręgu).
- Kąt wpisany to kąt wypukły, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona przecinają okrąg.
- Kąt środkowy to taki, którego wierzchołek leży w środku okręgu.
Wierzchołek kąta wpisanego leży natomiast na okręgu.
Przyjrzyj się rysunkowi:
Naszkicowano na nim cztery kąty oparte na tym samym łuku (AB).
Kąt środkowy można narysować tylko na jeden sposób, a kątów wpisanych można narysować wiele.
Zapamiętaj!
Jeżeli kąt środkowy i wpisany oparte są na tym samym łuku, to kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego.
. β = 2 · α
Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary (dlatego też na rysunku miary kątów wpisanych oznaczone są tą samą literą).
To jest ważne!
Kąt środkowy oparty na połowie okręgu to kąt półpełny (180º).
Kąt wpisany oparty na połowie okręgu jest prosty (ma miarę 90º).
Zadanie
Podaj miary wszystkich kątów wpisanych przedstawionych na rysunku.
Jak to rozwiązać?
Najpierw przyjrzyj się dokładnie rysunkowi. Kąt przy wierzchołku A jest prosty (wpisany, oparty na półokręgu). Ponieważ suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180º, więc kąt przy wierzchołku B ma miarę , 180º – 90º – α, czyli: 90º – α.
Na teście gimnazjalnym spodziewaj siê takiego zadania!
W jaki równoległobok można wpisać okrąg?
A. W każdy.
B. W żaden.
C. Tylko w kwadrat.
D. Żadne z powyższych.
Która odpowiedź jest poprawna?
Odpowiedzi A. i B. odpadają natychmiast. Dlaczego?
Po pierwsze: nie w każdy równoległobok można wpisać okrąg. Na przykład w taki nie można:
Po drugie: nie jest prawdą, że w żaden równoległobok nie można wpisać okręgu, bo na przykład w kwadrat – można.
A co z odpowiedzią C.?
Czy równoległobok musi być kwadratem, by można było weń wpisać okrąg? Oczywiście, że… nie!
Okrąg można wpisać przecież w romb, który również jest równoległobokiem!
Prawidłowa odpowiedź to D.
Nie daj się złapać!
Okrąg wpisany i okrąg opisany to zupełnie co innego.
Zapamiętaj rysunki!
Okrąg wpisany w trójkąt wygląda tak:
Okrąg opisany na trójkącie wygląda tak:
Zadanie 1.
Ile stopni ma kąt środkowy oparty na 5/6 okręgu?
Rozwiązanie i uwagi: Kąt pełny ma 360°, czyli
Zadanie 2.
Ile stopni ma kąt wpisany oparty na 5/6 okręgu?
Rozwiązanie i uwagi: Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym opartych na tym samym łuku okręgu wynika, że miarę szukanego kąta obliczymy następująco:
Zadanie 3.
Ile stopni ma kąt środkowy oparty na półokręgu?
Rozwiązanie i uwagi: 1/2 · 360° = 180° – to obliczenie można wykonać w pamięci.
Zadanie 4.
Ile stopni ma kąt wpisany oparty na półokręgu?
Rozwiązanie i uwagi: Odpowiedzi można udzielić od razu bądź można wykonać obliczenie podobne do obliczeń w zadaniu drugim:
Zadanie 5.
Oblicz miary kątów wpisanych α, β, jeżeli łuk AB, na którym te kąty są oparte, stanowi 1/3 długości okręgu.
Rozwiązanie i uwagi:
Zadanie 6.
Kąt środkowy ma 270°. Jaką część okręgu stanowi łuk, na którym opiera się ten kąt?
Rozwiązanie i uwagi: Obliczamy, jaką częścią całego okręgu jest dany kąt środkowy:
Odpowiedź: Łuk stanowi 3/4 okręgu.
Zadanie 7.
Oblicz miary kątów trójkąta ABC, jeżeli miara kąta AOC wynosi 50°, a miara kąta COB jest równa 60°.
Rozwiązanie i uwagi: Kąt wpisany ABC ma miarę o połowę mniejszą od miary kąta środkowego AOC, czyli ma 25°. Kąt wpisany CAB ma miarę o połowę mniejszą od miary kąta środkowego COB, czyli ma 30°. Miarę trzeciego kąta trójkąta ABC najłatwiej wyliczyć, pamiętając, że suma kątów w trójkącie wynosi 180°:
180° – 25° – 30° = 125°
Miary kątów trójkąta ABC wynoszą zatem 25°, 30°, 125°.
Trudne zadanie!
Jaki kąt środkowy tworzą wskazówki zegara o godzinie 1130, a jaki o godzinie 815?
Rozwiązanie i uwagi: Na tarczy zegara mamy 12 godzin, czyli kąt środkowy utworzony między kolejnymi godzinami ma 30° (360° : 12 = 30°).
a) O godzinie 1130 mała wskazówka znajduje się między godziną 1100 a 1200, czyli miara kąta środkowego utworzonego między małą wskazówką a godziną 1200 wynosi 15°. Duża wskazówka znajduje się na 600, czyli miara kąta środkowego utworzonego między tą wskazówką a godziną 1200 wynosi 180°. Szukany kąt środkowy ma zatem 165° (180° – 15° = 165°).
b) Kąt środkowy między godziną 800 a 900 dzielimy na 4 części, bo o godzinie 815 mała wskazówka przesunęła się z godziny 8 o ¼ kąta 30°, czyli o 7,5°. Kąt środkowy utworzony między małą wskazówką a godziną 6 ma więc 67,5° (30° + 30° + 7,5° = 67,5°). Z kolei kąt środkowy utworzony między dużą wskazówką a godziną 6 ma 90°. Szukany kąt środkowy ma zatem 157,5° (90° + 67,5° = 157,5°).
Ciekawe i nietypowe zadanie!
Wierzchołki trójkąta o bokach 6 cm, 8 cm i 10 cm leżą na okręgu o promieniu 5 cm. Oblicz pole tego trójkąta.
Rozwiązanie i uwagi: Można zauważyć, że skoro promień okręgu ma 5 cm, to średnica będzie miała 10 cm. Najdłuższy bok trójkąta jest zatem średnicą okręgu. Trzeci wierzchołek trójkąta musi też leżeć na okręgu, czyli boki o długościach 6 cm i 8 cm wyznaczają kąt wpisany oparty na średnicy – ten kąt ma 90°. Trójkąt, którego pole mamy wyliczyć, jest więc prostokątny. Przyprostokątne mają długości 6 cm i 8 cm, czyli
P = 1/2 · 6 cm · 8 cm = 24 cm².
Poćwicz
1. Kąt środkowy ma 240°. Łuk, na którym opiera się ten kąt, stanowi:
A. 1/2 okręgu,
B. 2/3 okręgu,
C. 2/5 okręgu,
D. 5/6 okręgu.
2. Miara kąta wpisanego opartego na 7/8 okręgu wynosi:
A. 140°
B. 210°
C. 280°
D. 150°
3. Oblicz, ile stopni ma kąt środkowy oparty na 1/6 okręgu?
A. 20°
B. 30°
C. 60°
D. 120°
4. Kąt wpisany ma miarę:
A. większą niż 0°, a mniejszą niż 360°,
B. większą niż 180°, a mniejszą niż 360°,
C. większą niż 0°, a mniejszą niż 180°,
D. większą niż 90°, a mniejszą niż 180°.
5. Oblicz miary kątów a, b, g
Odpowiedzi:
1. B
2. A
3. C
4. C
5. Kąt wpisany a jest oparty na tym samym łuku co kąt 80°, czyli ma taką samą miarę. Analogicznie kąt g ma 38°. Mamy więc a =80°, g = 38°, b = 180° – 80° – 38° = = 62°.