Wiedza w pigułce

GRANIASTOSŁUP

  • Graniastosłupem nazywamy figurę przestrzenną, której dwie ściany zwane podstawami są przystającymi wielokątami zawartymi w płaszczyznach równoległych, a ściany boczne są równoległobokami.
  • W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami (są prostopadłe do podstaw).
  • Graniastosłup nazywamy prawidłowym, jeśli jest prosty i podstawy są wielokątami foremnymi.
  • Przekątna graniastosłupa to odcinek łączący dwa wierzchołki nienależące do płaszczyzny jednej ściany.
  • Wysokość graniastosłupa to odcinek prostopadły do podstaw, jego końce leżą na płaszczyznach, w których się te podstawy zawierają.

Zapamiętaj wzory!

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa
Pole powierzchni graniastosłupa jest to suma pól wszystkich ścian bocznych i dwóch podstaw (jest ono równe polu powierzchni jego siatki).

Objętość graniastosłupa

 

OSTROSŁUP

  • Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą, jest dowolnym wielokątem, a pozostałe ściany są trójkątami mającymi wspólny wierzchołek.
  • Trójkąty tworzące ściany nazywamy ścianami bocznymi, a ich wspólny wierzchołek – wierzchołkiem ostrosłupa.
  • Boki podstawy nazywamy krawędziami podstawy, a pozostałe krawędzie – krawędziami bocznymi.
  • Wysokością ostrosłupa nazywamy odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z jego rzutem prostokątnym na płaszczyznę podstawy.
  • Spodkiem wysokości nazywamy punkt wspólny wysokości i płaszczyzny podstawy.
  • Jeżeli podstawą ostrosłupa jest trójkąt, to ostrosłup nazywamy trójkątnym, jeżeli czworokąt, to czworokątnym, jeśli pięciokąt, to pięciokątnym itd. Ostrosłup trójkątny nazywamy też czworościanem.
  • Czworościan, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi, nazywamy czworościanem foremnym. W czworościanie foremnym wszystkie krawędzie są jednakowej długości.
  • Ostrosłup nazywamy prawidłowym, jeżeli jego podstawa jest wielokątem foremnym, a wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.
  • W ostrosłupie prawidłowym wszystkie krawędzie boczne mają tę samą długość, a spodek wysokości jest środkiem okręgu opisanego na podstawie.

Zapamiętaj wzory!

Pole powierzchni ostrosłupa
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe sumie pola podstawy i pól ścian bocznych.

Objętość ostrosłupa

 

Zadanie 1
Ile krawędzi, ścian i wierzchołków ma:
a) graniastosłup,
b) ostrosłup,
którego podstawą jest narysowany wielokąt?

Odpowiedzi:
a) Graniastosłup: 15 krawędzi, 7 ścian, 10 wierzchołków.
b) Ostrosłup: 10 krawędzi, 6 ścian, 6 wierzchołków.

 

Zadanie 2
Szafa w kształcie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma objętość 0,98m³. Jaką głębokość ma szafa, jeśli jej wysokość wynosi 20 dm?

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru na objętość, pamiętając o tym, że podstawa jest kwadratem:
V = 0,98 m³ = 980 dm³
H = 20 dm
980 = 20 a²
a² = 49
a = 7 [dm]

Odpowiedź: Szafa ma głębokość 7 dm.

 

Zadanie 3
Na technice uczniowie postanowili wykonać karmnik dla ptaków. Jego szkielet, przedstawiony na rysunku składa się z graniastosłupa i ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Ile wynosi suma długości listewek potrzebnych na wykonanie tego szkieletu?

Rozwiązanie:
Na szkielet karmnika składa się 8 krawędzi o długości 30 cm, 4 krawędzie o długości 20 cm i 4 krawędzie o długości 25 cm.

8 . 30 + 4 . 20+ 4 . 25 = 240 + 80 + 100 = 420 cm = 4,2 m

Odpowiedź: Suma wszystkich listewek wynosi 4,2 m.

 

Zadanie 4
Dach zamkowej wieży ma kształt ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy 30 m i krawędzi bocznej długości 25 m. Litr farby wystarcza na pomalowanie 6m² powierzchni. Ile pięciolitrowych puszek farby trzeba kupić, aby pomalować trzy dachy takich wież?

Rozwiązanie: Należy zwrócić uwagę, że malujemy tylko powierzchnie boczne wież. Obliczymy najpierw wysokość jednej ściany bocznej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa: h² + 15² = 25². Dalej mamy, że h² = 625 – 225, czyli h² = 400 i dalej h = 20 [m]. Teraz możemy wyliczyć pole powierzchni bocznej trzech wież:

Skoro 1 litr farby wystarcza na pomalowanie 6 m² powierzchni, to jedna pięciolitrowa puszka starczy na pomalowanie
30 m² powierzchni. Z tego wynika, że na pomalowanie 5400 m² powierzchni trzeba kupić 180 puszek farby, bo 5400 : 30 = 180.

Odpowiedź: Aby pomalować dachy trzech wież należy kupić 180 pięciolitrowych puszek farby.

 

Zadanie 5
Suma długości wszystkich krawędzi czworościanu foremnego jest równa 54 cm. Czy 1,5 dm² papieru wystarczy na jego oklejenie?

Rozwiązanie: W czworościanie foremnym jest 6 krawędzi, czyli długość jednej krawędzi wynosi 9 cm (54 : 6 = 9).
Pole powierzchni czworościanu to suma pól czterech trójkątów równobocznych.
Wzór na pole trójkąta równobocznego:

Odpowiedź: Na oklejenie tego czworościanu wystarczy 1,5 dm² papieru.

 

Zadanie 6
Podstawą graniastosłupa jest romb. Długości przekątnych podstawy i wysokość graniastosłupa mają się do siebie jak 1:2:4. Objętość graniastosłupa wynosi 32 cm³. Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Rozwiązanie
Niech e oraz f oznaczają długości przekątnych rombu, a długość boku rombu, H wysokość graniastosłupa, natomiast x długość jednostkowego odcinka. Mamy wtedy: e = 1x, f = 2x, H = 4x.
Objętość graniastosłupa obliczamy mnożąc pole podstawy przez wysokość.
Objętość graniastosłupa można zapisać


czyli

Po obustronnym podzieleniu przez 4 otrzymujemy ostatecznie x = 2. Długości przekątnych podstawy wynoszą zatem 2 cm i 4 cm, a wysokość graniastosłupa jest równa 8 cm. Ponieważ w rombie przekątne dzielą się na połowy i przecinają się pod kątem prostym, więc powstają 4 trójkąty prostokątne.

a² = 1² + 2², czyli a = √5 [cm]

Odpowiedź: Długość krawędzi podstawy wynosi √5 cm.

 

Pytanie z podręcznika

Dwa krany ze ściany wystawały i wodą wypełniały pojemniki o kształtach jak na rysunku. Z kranu pierwszego 1 litr wody wyciekał w ciągu sekundy. Z kranu drugiego znów litr wody wypływał w ciągu sekund dwóch.
Który z pojemników napełnił się wodą wcześniej, jeśli krany odkręcono jednocześnie?


Rozwiązanie:
Wyliczymy objętości naczyń i czasy, w których zostały napełnione wodą:

Skoro z kranu pierwszego litr wody wyciekał w ciągu sekundy, to naczynie napełniło się w ciągu 2250 sekund.
W przypadku drugiego naczynia litr wody wypływał w ciągu sekund dwóch, czyli naczynie napełniło się w ciągu 4000 sekund.

Odpowiedź: Wcześniej napełnił się wodą pojemnik pierwszy.