To musisz koniecznie wiedzieć!

Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołkiem jest środek koła.

Kąt wpisany to kąt wypukły, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona przecinają okrąg.

Zapamiętaj ważne twierdzenia!

Jeżeli kąt środkowy i wpisany oparte są na tym samym łuku, to kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego.

Kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym.

Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.

 

Z takimi zadaniami możesz spotkać się na sprawdzianie!

Zadanie 1.
Ile stopni ma kąt środkowy oparty na okręgu?

Rozwiązanie i uwagi:
Kąt pełny ma 360°, czyli
· 360° = 300°

Zadanie 2.
Ile stopni ma kąt wpisany oparty na okręgu?
Rozwiązanie i uwagi:
Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym opartych na tym samym łuku okręgu wynika, że miarę szukanego kąta obliczymy następująco:

Zadanie 3.
Ile stopni ma kąt środkowy oparty na półokręgu?
Rozwiązanie i uwagi:
To obliczenie można wykonać w pamięci.

Zadanie 4.
Ile stopni ma kąt wpisany oparty na półokręgu?
Rozwiązanie i uwagi:
Odpowiedzi można udzielić od razu bądź można wykonać obliczenie podobne do obliczeń w zadaniu drugim:

Zadanie 5.
Oblicz miary kątów a, b, jeżeli łuk AB stanowi 1/3 długości okręgu.

Rozwiązanie i uwagi:

Zadanie 6.
Kąt środkowy ma 270°. Jaką część okręgu stanowi łuk, na którym opiera się ten kąt?

Rozwiązanie i uwagi:
Obliczamy, jaką częścią całego okręgu jest dany kąt środkowy:


Odpowiedź: Łuk stanowi 3/4 okręgu.

Zadanie 7.
Oblicz miary kątów trójkąta ABC, jeżeli miara kąta AOC wynosi 50°, a miara kąta COB jest równa 60°.

Rozwiązanie i uwagi:
Kąt wpisany ABC ma miarę o połowę mniejszą od miary kąta środkowego AOC, czyli ma 25°. Kąt wpisany CAB ma miarę o połowę mniejszą od miary kąta środkowego COB, czyli ma 30°. Miarę trzeciego kąta trójkąta ABC najłatwiej wyliczyć, pamiętając, że suma kątów w trójkącie wynosi 180°:
180° – 25° – 30° = 125°
Miary kątów trójkąta ABC wynoszą zatem 25°, 30°, 125°.

Trudne zadanie!

Jaki kąt środkowy tworzą wskazówki zegara o godzinie 11.30, a jaki o godzinie 8.15?

Rozwiązanie i uwagi: Na tarczy zegara mamy 12 godzin, czyli kąt środkowy utworzony między kolejnymi godzinami ma 30° (360° : 12 = 30°).

a) O godzinie 11.30 mała wskazówka znajduje się między godziną 11.00 a 12.00, czyli miara kąta środkowego utworzonego między małą wskazówką a godziną 12.00 wynosi 15°. Duża wskazówka znajduje się na 6 00, czyli miara kąta środkowego utworzonego między tą wskazówką a godziną 12 00 wynosi 180°. Szukany kąt środkowy ma zatem 165° (180° – 15° = 165°).

. .

b) Kąt środkowy między godziną 8.00 a 9.00 dzielimy na 4 części, bo o godzinie 8.15 mała wskazówka przesunęła się z godziny 8 o ¼ kąta 30°, czyli o 7,5°. Kąt środkowy utworzony między małą wskazówką a godziną 6 ma więc 67,5° (30° + 30° + 7,5° = 67,5°). Z kolei kąt środkowy utworzony między dużą wskazówką a godziną 6 ma 90°. Szukany kąt środkowy ma zatem 157,5° (90° + 67,5° = 157,5°).

.

Ciekawe i nietypowe zadanie!

Wierzchołki trójkąta o bokach 6 cm, 8 cm i 10 cm leżą na okręgu o promieniu 5 cm. Oblicz pole tego trójkąta.

Rozwiązanie i uwagi:
Można zauważyć, że skoro promień okręgu ma 5 cm, to średnica będzie miała 10 cm. Najdłuższy bok trójkąta jest zatem średnicą okręgu. Trzeci wierzchołek trójkąta musi też leżeć na okręgu, czyli boki o długościach 6 cm i 8 cm wyznaczają kąt wpisany oparty na średnicy – ten kąt ma 90°. Trójkąt, którego pole mamy wyliczyć, jest więc prostokątny. Przyprostokątne mają długości 6 cm i 8 cm, czyli
P = 1/2 · 6 cm · 8 cm = 24 cm².

Poćwicz

1. Kąt środkowy ma 240°. Łuk, na którym opiera się ten kąt, stanowi:
A. 1/3 okręgu,
B. 2/3 okręgu,
C. 2/5 okręgu,
D. 5/6 okręgu.

2. Miara kąta wpisanego opartego na 7/8 okręgu wynosi:
A. 140°
B. 210°
C. 280°
D. 157,5°

3. Oblicz, ile stopni ma kąt środkowy oparty na
okręgu?
A. 20°
B. 30°
C. 60°
D. 120°

4. Kąt wpisany ma miarę:
A. większą niż 0°, a mniejszą niż 360°,
B. większą niż 180°, a mniejszą niż 360°,
C. większą niż 0°, a mniejszą niż 180°,
D. większą niż 90°, a mniejszą niż 180°.

5. Oblicz miary kątów α, β, γ

Odpowiedzi:

1. B
2. D
3. C
4. C

5. Kąt wpisany α jest oparty na tym samym łuku co kąt 80°, czyli ma taką samą miarę. Analogicznie kąt γ ma 38°. Mamy więc a =80°, α = 38°, b = 180° – 80° – 38° = = 62°.