Symetria osiowa i środkowa

Przekształcenia figur podzielić można na takie, które:

  • nie zmieniają ani kształtu ani wielkości figury,
  • nie zmieniają kształtu, ale zmieniają wielkość figury,
  • zmieniają kształt i wielkość figury.

Do grupy pierwszej należą:

  • przesunięcie równoległe,
  • obrót,
  • symetria osiowa,
  • symetria środkowa.

Wymienione powyżej przekształcenia noszą nazwę IZOMETRII.

W przekształceniach izometrycznych otrzymujemy figury przystające, których:

  • odpowiednie boki są przystające
  • odpowiednie kąty są równe.

Grupa druga to:

  • jednokładność,
  • podobieństwo.

Dzięki tym przekształceniom, wymiary figury zostają zmniejszone lub powiększone, ale jej kształt zostaje bez zmiany.

Grupę trzecią stanowią rzuty.

 

Zajmiemy się teraz dokładniej izometriami.

Zadanie 1
Czworokąt wklęsły ABCD przesuń równoległe o wektor .

Wszystkie punkty należące do czworokąta ABCD poruszały się po prostych równoległych do kierunku wektora i zostały przesunięte o tyle, ile wynosi długość tego wektora przesunięcia.

Zadanie 2
Dowolny trójkąt ABC obróć na płaszczyźnie o kąt α dookoła punktu S.

Tory obracających się punktów trójkąta, to łuki okręgów współśrodkowych o środku S.

Zadanie 3:
Przekształć przez symetrię osiową czworokąt wypukły ABCD. Oś symetrii przebiega poza płaszczyzną czworokąta.

Punkt A i jego obraz A’ w symetrii osiowej posiadają następujące własności:

  • leżą po obu stronach osi symetrii S
  • leżą na prostej prostopadłej do osi S
  • leżą w jednakowej odległości od osi S.

Zadanie 4
Przekształć przez symetrię osiową pięciokąt wklęsły, obierając oś symetrii S tak, aby przecięła płaszczyznę pięciokąta.

Zadanie 5:
Dane są punkty A i B. Znajdź prostą S taką, żeby punkt B był obrazem punktu A w symetrii względem tej prostej.

Uwaga: Szukana prosta S to symetralna odcinka AB, bo tylko wtedy spełnione są własności punktów symetrycznych względem prostej S, tzn.

  • punkty leżą po obu stronach osi S
  • punkty leżą na prostej prostopadłej do S
  • punkty leżą w jednakowych od S odległościach.

Zadanie 6
Czy poniższe przekształcenia są symetriami względem osi S?

  • Nie, gdyż odcinek OO1 nie jest prostopadły do osi S.

  • Nie, gdyż trójkąt ABC nie jest przystający do czworokąta ABCD.

  • Nie, gdyż odległości punktu i jego obrazu nie są jednakowe od osi S.

  • Nie, gdyż figura i jej obraz leżą po tej samej stronie osi S.

Zapamiętaj!

  • Prosta jest osią symetrii danej figury, jeżeli ta figura jest do siebie symetryczna względem tej prostej.

 

 

Figury osiowosymetryczne, to figury posiadające przynajmniej jedną oś symetrii.

  • Trójkąt równoboczny ma 3 osie symetrii.
  • Prostokąt, kwadrat, romb mają dwie osi symetrii.
  • Trójkąt równoramienny ma jedną oś symetrii.

Uwaga 1: Każdy wielokąt foremny ma tyle osi symetrii ile wierzchołków.

Uwaga 2: Punkt, prosta (p na rysunku), koło, okrąg mają nieskończenie wiele osi symetrii.

Zadanie
Narysuj czworokąt, który ma dokładnie jedną oś symetrii.

Rozwiązanie

Zadanie 7
Jakie wzajemne położenie muszą mieć dwa okręgi o różnych promieniach, aby figura z nich złożona miała nieskończenie wiele osi symetrii.

Odp.: Okręgi muszą być współśrodkowe.

Uwaga
Dwa okręgi przecinające się o różnych promieniach mają 1 oś symetrii.

Uwaga! Figurę F można przekształcać symetrycznie nie tylko względem prostej, ale i względem punktu S.
Taka symetria nazywa się symetrią środkową.

Punkty symetryczne względem osi układu współrzędnych

Zadanie 8:
Dane są punkty: A(1, -2); B(3, 1); C(-3, 1)l; D(2, -3); E(1, 2); F(2, 3).
Wśród podanych punktów wskaż punkty symetryczne względem:
a) osi OX
b) osi OY

Symetria środkowa

Symetrią środkową względem punktu O nazywamy takie przekształcenie geometryczne, w którym obrazem każego punktu danej figury jest punkt symetryczny do niego względem punktu O.

Zauważ!
Symetria środkowa jest w efekcie tym samym co obrót o kąt 180°.

Punkt A i jego obraz A’ w symetrii środkowej posiadają następujące własności:

  • leżą po obu stronach środka S
  • leżą na prostej przechodzącej przez S
  • leżą w jednakowej odległości od środka S

Ważne! Jeżeli dana figura geometryczna jest do siebie symetryczna względem jakiegoś punktu, to ten punt jest środkiem symetrii tej figury.

Uwaga!
Jeśli punkt A leży w środku symetrii O, to punktem do niego symetrycznym jest ten sam punkt A.
. •
A = O = A’
Punkty A, O, A’ pokrywają się.

 

Zapamiętaj!
Każde dwa punkty symetryczne względem danego punktu zwanego środkiem symetrii leżą:

  • na prostej przechodzącej przez ten środek symetrii,
  • po przeciwnych stronach środka symetrii,
  • w równych odległościach od środka symetrii.

Każde dwie figury symetryczne względem danego punktu są przystające, czyli:

  • odpowiednie odcinki tych figur są przystające,
  • odpowiednie kąty tych figur są równe.

Punkty symetryczne względem początku układu współrzędnych to punkty, których obie współrzędne są liczbami przeciwnymi.

Środkiem symetrii danej figury jest punkt, względem którego ta figura jest symetryczna sama do siebie. Figurę, która ma środek symetrii nazywamy środkowosymetryczną.

Pamiętaj!
Wielokąt o n-kątach (n>2) ma środek symetrii, jeżeli n jest liczbą parzystą:

  • Na przykład kwadrat, sześciokąt foremny, ośmiokąt foremny mają środek symetrii.
  • Na przykład trójkąty, pięciokąty, siedmiokąty nie mają środka symetrii.

 

Zadanie 9
Przekształć przez symetrię środkową dowolny trapez różnoboczny, obierając środek symetrii na płaszczyźnie trapezu.


Zadanie 12
Dane są punkty A i B – dowolnie leżące na płaszczyźnie i A ≠ B. Znajdź punkt S względem którego punkty A i B są symetryczne:

 

Zadanie 13:
Pięciokąt wypukły ABCDE przekształć przez symetrię względem środka S leżącego w wierzchołku wielokąta.

Zadanie 14
Czy punkty A i B są symetryczne do siebie względem punktu S?

Odpowiedź:
a) nie, bo |AS| =/ |SB|
b) nie, bo A, B, S nie leżą na jednej prostej
c) nie, bo A i B leżą po tej samej stronie p. S

Zadanie 15
Czy poniższe figury mają środek symetrii? Jeśli tak, zaznacz go.
Uwaga! Środkiem symetrii danej figury jest punkt, względem którego ta figura jest symetryczna sama do siebie.

Punkty symetryczne względem początku układu współrzędnych

Zadanie 15
Trójkąt o wierzchołkach A = (-3, -1); B = (-1, 2); C = (4, 0) przekształć przez symetrię względem początku układu współrzędnych. Podaj współrzędne wierzchołków obrazu trójkąta.

A = (-3, -1) A’ = (3, 1)
B = (-1, 2) B’ = (1, -2)
C = (4, 0) C’ = (-4, 0)
Ogólnie: A = (x, y) A’ = (-x, -y)

Zadanie 16
Dla jakich wartości a i b M i N są symetryczne względem p. (0, 0)
a) M = (a+2, b) i N = (4, -5)
b) M = (a-7, 3) i N = (-4, b)
Odpowiednie współrzędne punktów M i N są liczbami przeciwnymi, więc:
a+2 = -4 i b = -(-5) a-7 = -(-4) i b = -3 | . 3
a = -6 b = 5 a = 7+4 b = -9
a = 11