Czworokąt jest to część płaszczyzny ograniczona łamaną zwyczajną zamk­niętą złożoną z 4 odcinków.

  • Ma cztery wierzchołki i cztery kąty wewnętrzne, których suma wynosi 360°. Łatwo można sprawdzić, że suma miar kątów wewnętrznych czworokąta wynosi 360°.
  • Jeżeli w dowolnym czworokącie poprowadzisz jedną przekątną, to czworokąt zostanie podzielony na dwa trójkąty. Ponieważ suma miar kątów jednego trójkąta wynosi 180°, więc w obu jest ona równa 360°.

czworokąt - suma kątów

  • Wierzchołki czworokąta oznaczamy dużymi literami alfabetu A, B, C, D.
  • Przekątna wielokąta to odcinek łączący dwa niekolejne (przeciwległe) wierzchołki wielokąta. W każdym czworokącie można poprowadzić dwie przekątne. Przekątne oznaczamy zazwyczaj literą d.

Czworokąty i ich własności

Trapezoid (na rysunku powyżej) jest najmniej regularnym z czworoboków, ponieważ nie ma on boków równoległych, jak w pozostałych czworokątach. Jego pole powierzchni obliczamy sumując pola powierzchni trójkątów uzyskanych przez podzielenie figury przekątną.

Równoległobok

  • ma dwie pary boków równych i równoległych,
  • punkt przecięcia przekątnych dzieli je na połowy,
  • przeciwległe kąty są równej miary,
  • suma kątów leżących przy tym samym boku wynosi 180º.

Równoległobok 4

  • Pole powierzchni obliczamy mnożąc podstawę i wysokość.
    P = a • h
  • Obwód obliczamy dodając długości jego boków
    Ob = 2a + 2b


Prostokąt

  • jest równoległobokiem, któryo ma wszystkie kąty proste,
  • jego przekątne są równej długości i dzielą się na połowy.

prostokąt 2

  • Pole powierzchni obliczamy mnożąc podstawę i wysokość.
    P = a • h
  • Obwód prostokąta obliczamy dodając kolejno jego boki.
    Ob = 2a + 2b

Kwadrat

  • jest prostokątem, który ma wszystkie boki równe;
  • ma wszystkie kąty proste;
  • jego przekątne są:
    • równej długości,
    • prostopadłe,
    • dwusiecznymi kątów wewnętrznych,
    • osiami symetrii oraz dzielą się na połowy.

kwadrat 22

  • Pole powierzchni

Wzór pole kwadratu

  • Obwód
    Ob = 4a

Romb

  • jest równoległobokiem, który ma wszystkie boki równe;
  • przekątne d1, d2 są:
    • prostopadłe,
    • dwusiecznymi kątów  wew­nętrznych,
    • osiami symetrii,
    • dzielą się na połowy.

romb 2

Uwaga! Szczególnym przypadkiem rombu (o wszystkich kątach prostych) jest kwadrat.

  • Pole powierzchni
    Wzór rombu
  • Obwód
    Ob = 4a

Deltoid

Deltoidem jest to czworokąt mający dwie pary boków sąsiednich równych i w którym żadne dwa boki nie są wzajemnie równoległe.

  • dwie pary boków są równe;
  • przekątne są prostopadłe;
  • jedna z przekątnych dzieli drugą na połowę

deltoid 22

Trapez

  • jest czworokątem, który ma dwa boki równoległe, które nazywamy podstawami trapezu,
  • odcinek łączący obie podstawy pod kątem prostym nazywamy wysokością,
  • Trapez różnoramienny:
    • ma wszystkie boki różnej długości;
    • kąty wewnętrzne są różnej miary;
    • ma dwa kąty ostre i dwa rozwarte.

Trapez 2

  • Suma miar kątów leżących przy tym samym ramieniu trapezu jest równa 180°.
    α + δ = 180°,
    β + γ = 180°.
  • W trapezie prostokątnym jedno ramię tworzy z podstawami kąty proste.
    • Ramię to jest równocześnie wysokością trapezu prostokątnego.

Trapez prostokątny

  • W trapezie równoramiennym
    • dwa boki są równoległe,
    • ramiona są równe,
    • kąty przy podstawach mają równe miary,
    • przekątne są równej długości

Trapez równoramienny

  • Wzór na pole powierzchni trapezu

Wzór pole trapezu

  • Obwód trapezu obliczamy dodając po kolei jego boki

Ob = a + b + c + d

 

Uwaga 1
Jeśli sumy długości przeciwległych boków czworokąta wypukłego są równe, to można w ten czworokąt wpisać okrąg.

 Uwaga 1

Uwaga 2
Jeżeli suma miar prze­ciw­leg­łych kątów wewnętrznych danego czworokąta wypukłego wynosi 180°, to można na nim opisać okrąg.

Uwaga 2

 

 Klasyfikacja czworokątów

klasyfikacja czworokątów

Klasyfikacja czworokątów

klasyfikacja czworokątów 

Sprawdź, ile zapamiętałeś o czworokątach!

1. Wskaż zdanie fałszywe:
A. Każdy kwadrat jest prostokątem.
B. Każdy romb jest trapezem.
C. Każdy trapez jest równoległobokiem.
D. Każdy prostokąt jest równoległobokiem.

2. Miara kąta α wynosi:


A. 60°
B. 105°
C. 75°
D. 30°

3. Który z czworokątów o podanych miarach dwóch kątów jest rombem:
A. 20°, 80°
B. 75°, 115°
C. 140°, 60°
D. 90°, 90°

4. Sumę miar wszystkich kątów wewnętrznych n-kąta można obliczyć, korzystając ze wzoru (n – 2) · 180° dla n3. Ile wynosi miara jednego kąta wewnętrznego pięciokąta foremnego?
A. 540°
B. 108°
C. 120°
D. 720°

5. Liczbę przekątnych w n-kącie liczymy według wzoru dla n3. W jakim wielokącie liczba przekątnych jest równa liczbie jego boków:
A. w trójkącie,
B. w czworokącie,
C. w pięciokącie,
D. w sześciokącie.

6. Jeżeli IKNI = INLI = INMI, to miara kąta KML wynosi:

A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°

Odpowiedzi:
1. C, 2. A, 3. D, 4. B, 5. C, 6. C.