Prostopadłościan
- Prostopadłościan jest to graniastosłup prosty, którego wszystkie ściany są prostokątami.
- Każda ściana prostopadłościanu może być podstawą albo ścianą boczną; zależy od jego ustawienia.
- Długości krawędzi podstawy nazywamy odpowiednio długością i szerokością prostopadłościanu, a długość krawędzi bocznej wysokością prostopadłościanu.
- Przekątną ściany nazywamy przekątną prostokąta będącego ścianą prostopadłościanu.
- Przekątną prostopadłościanu nazywamy odcinek łączący dwa wierzchołki prostopadłościanu nienależące do jednej ściany.
- Prostopadłościan ma 6 ścian, w tym 2 podstawy i 4 ściany boczne, a także 12 krawędzi, 8 wierzchołków i 4 przekątne.
- Pole powierzchni prostopadłościanu jest równe sumie pól wszystkich jego ścian: P = 2ab + 2ac +2bc
- Objętość prostopadłościanu jest iloczynem wszystkich krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka: V = abc
a, b, c – długości krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka
Sześcian
- Sześcian to prostopadłościan, którego każda ściana jest kwadratem.
- W sześcianie wszystkie krawędzie są równej długości.
- Pole powierzchni sześcianu jest równe sumie pól sześciu kwadratów: P = 6a²
- Objętość sześcianu jest równa iloczynowi trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka: V = a³
a – długość krawędzi sześcianu
SPRAWDŹ SWOJĄ WIEDZĘ PRZED KLASÓWKĄ!
Zadanie 1.
Rysunek przedstawia siatkę sześcianu o krawędzi 10.
a) Oblicz sumę długości wszystkich jego krawędzi.
b) Oblicz pole powierzchni tego sześcianu.
c) Oblicz objętość tego sześcianu.
Rozwiązanie
a) W każdym sześcianie jest 12 krawędzi równej długości, czyli ich suma wynosi 12 · 10 = 120 [j].
b) P = 6 · 10² =600 [j²]
c) V = 10³ = 1000 [j³]
Zadanie 2.
Na wykonanie szkieletu prostopadłościanu o krawędziach podstawy długości 10 cm i 6 cm zużyto 124 cm drutu. Jaka jest wysokość tego prostopadłościanu?
Rozwiązanie: Oznaczmy przez h długość szukanej wysokości. Prawdziwe jest zatem równanie:
4 · 10 cm + 4 · 6 cm + 4 · h = 124 cm
64 cm + 4 h = 124 cm
h = 15 cm
Odpowiedź: Wysokość prostopadłościanu wynosi 15 cm.
Zadanie 3.
Ile decymetrów kwadratowych papieru zużyto na oklejenie sześciennego pudełka, którego objętość wynosi 0,125 m³?
Rozwiązanie: Dokonamy najpierw zamiany jednostek: 0,125 m³ = 125 dm³.
Ze wzoru na objętość sześcianu wynika, że długość krawędzi
a = 5dm
Korzystając teraz ze wzoru na pole powierzchni sześcianu, mamy, że P = 6 · 5² = 150 [dm²].
Odpowiedź: Na oklejenie pudełka zużyto 150 dm² papieru.
Zadanie 4.
Akwarium w kształcie prostopadłościanu o długości 0,6 m, szerokości 50 cm i wysokości 4 dm napełniono do połowy wodą. O ile centymetrów podniesie się poziom wody w akwarium, jeżeli wlejemy do niego 8 butelek wody o pojemności 750 ml?
Rozwiązanie: Ponieważ 750 ml = l, to objętość wody wlanej do akwarium z 8 butelek wynosi
Jednocześnie można stwierdzić, że objętość wlanej wody jest równa objętości prostopadłościanu o długości 6 dm, szerokości 5 dm i wysokości x.
Zatem 6 dm · 5 dm · x = 6 dm³, czyli x = 0,2 dm = 2 cm.
Uwaga! Do rozwiązania zadania tym sposobem nie była nam potrzebna wysokość akwarium ani informacja o tym, że jest ono napełnione wodą do połowy.
Odpowiedź: Poziom wody w akwarium podniesie się o 2 cm.
Zadanie 5
Skrzynka na kwiaty jest prostopadłościanem, którego podstawa ma wymiary 24 cm i 90 cm. Wysokość skrzynki stanowi 20% dłuższej krawędzi podstawy. Ile 5-litrowych worków ziemi trzeba kupić, aby ją całkowicie napełnić? Zapisz wszystkie obliczenia.
Rozwiązanie: Objętość skrzynki wynosi
V = 24 cm · 90 cm · 0,2 · 90 cm = 38 880 cm³ = 38,88 dm³ = 38,88 l.
Teraz obliczamy liczbę worków ziemi, którą trzeba zakupić 38,88 : 5 = 7,776 ≈ 8
Odpowiedź: Aby całkowicie napełnić skrzynkę, trzeba kupić 8 worków ziemi.
Zadanie 6
Do wykonania budy w kształcie sześcianu zużyto 69,36 dm³ desek o grubości 1,2 cm. W jednej ze ścian budy znajduje się otwór w kształcie prostokąta, którego obwód wynosi 1,9 m, a różnica sąsiednich boków jest równa 15 cm. Jaka jest objętość budy?
Podpowiedzi do rozwiązania
Najpierw dokonaj zamiany jednostek:
1,2 cm = 0,12 dm; 1,9 m = 19 dm; 15 cm = 1,5 dm
Oblicz pole powierzchni desek:
P = 69,36 : 0,12 = 578 [dm²]
Oblicz długość i szerokość otworu:
2(x + 1,5) + 2x = 19
x = 4 [dm]
x + 1,5 = 5,5 [dm]
Pole powierzchni otworu wynosi 22 dm², czyli pole całej budy łącznie z otworem wynosi 600 dm².
Każda ściana jest kwadratem o polu 100 dm², zatem długość krawędzi budy wynosi 10 dm = 1 m. Objętość budy wynosi więc 1 m³.
Zadanie 7.
Pudełko do kwiatów w kształcie prostopadłościanu o długościach krawędzi podstawy 40 cm i 0,5 m napełniono 40 litrami ziemi. Wsypana ziemia wypełnia 2/3 pojemnika. Ile materiału z tworzywa sztucznego zużyto na wykonanie tego pudełka?
Jak to rozwiązać?
W tego typu zadaniu warto wykonać rysunek, który bardzo często pomaga zrozumieć sens zadania.
Z treści zadania wynika, że Vziemi = 4 dm · 5 dm · 2/3 h = 40 dm³, czyli h = 3 dm. Teraz obliczymy ilość zużytego materiału, pamiętając o tym, że na pole powierzchni pudełka składa się jedna podstawa o wymiarach 4 dm i 5 dm, dwie ściany boczne o wymiarach 4 dm i 3 dm i dwie ściany o wymiarach 5 dm i 3 dm.
Mamy zatem:
P = 4 dm · 5 dm + 2 · 4 dm · 3 dm + 2 · 5 dm · 3 dm = = 74 dm².
Odpowiedź: Na wykonanie pudełka zużyto 74 dm2 materiału z tworzywa sztucznego.
Zadanie 8.
Przy wejściu do domu Agnieszki znajdują się dwie kolumny. Każda kolumna ma kształt prostopadłościanu o wysokości 3,5 m i podstawie będącej kwadratem o obwodzie 160 cm. Tata Agnieszki postanowił „obłożyć” kolumny prostokątnymi płytkami o szerokości 10 cm i długości dwa razy większej. Czy do wykonania tego zadania wystarczy mu 565 płytek?
Jak to rozwiązać?
Skoro podstawa jest kwadratem o obwodzie 160 cm, więc długość krawędzi podstawy kolumny wynosi 40 cm.
Teraz obliczymy pola powierzchni bocznych obu kolumn:
Pb = 2 · 4 · 40 cm · 350 cm = 112 000 cm².
Ponieważ pole powierzchni jednej płytki wynosi 200 cm² (20 · 10 = 200 ), czyli do „obłożenia” kolumn potrzeba 560 płytek (112 000 : 200 = 560).
Odpowiedź: Zakupiona przez tatę Agnieszki liczba płytek wystarczy do „obłożenia” obu kolumn.
Zadanie 9.
Mama przesypuje mąkę z sześciennej foremki o przekątnej 10√3 cm i wsypuje ją do foremki w kształcie prostopadłościanu o wysokości o połowę mniejszej od długości krawędzi sześciennej foremki i podstawie będącej kwadratem o przekątnej długości 3√2 dm. Ile pełnych foremek mąki musi przesypać mama, jeśli chce wypełnić co najwyżej 70% objętości foremki w kształcie prostopadłościanu?
Jak to rozwiązać?
Obliczenia rozpoczniemy od ustalenia długości krawędzi foremki w kształcie sześcianu.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, mamy: D² = d² + x²
Ponieważ D = 10√3 cm, d = x√2,
więc x² + (x√2)² = (10√3)².
Otrzymujemy, że x = 10 cm.
Po zastosowaniu wzoru na objętość sześcianu wynika, że Vsześcianu = 1000 cm³ = 1 dm³.
Dokonujemy teraz potrzebnych obliczeń dla foremki w kształcie prostopadłościanu.
Skoro długość krawędzi sześcianu wynosi 10 cm, więc wysokość foremki w kształcie prostopadłościanu wynosi 5 cm = 0,5 dm. Przekątna podstawy wynosi 3√2 dm, czyli wykorzystując wzór na przekątną kwadratu, ustalamy długość krawędzi podstawy a = 3√2 dm.
Ponieważ foremka w kształcie prostopadłościanu ma być wypełniona w co najwyżej 70%, więc objętość mąki wynosi co najwyżej: Vmąki = 0,7 · 3 · 3 · 0,5 = 3,15 [dm³]. Skoro jedna foremka, z której mama przesypuje mąkę ma objętość 1 dm³, więc do wypełnienia co najwyżej 70 % objętości foremki prostopadłościennej potrzeba tylko 3 pełnych foremek w kształcie sześcianu.
Pytanie z podręcznika!
Akwarium wypełnione do połowy wodą waży 19 kg, a wypełnione całkowicie wodą 34 kg. Ile waży puste akwarium?
Rozwiązanie: Niech x oznacza wagę wody wypełniającej całkowicie akwarium, a y wagę pustego akwarium. Mamy wtedy:
Po wymnożeniu pierwszego równania przez –1, a potem dodaniu równań stronami otrzymujemy, że 0,5x = 15, czyli x = 30 [kg]. Skoro waga wody wynosi 30 kg, to waga pustego akwarium jest równa 4 kg.
Odpowiedź: Puste akwarium waży 4 kg.
Zadanie niekoniecznie trudne!
Czy w kartonie o wymiarach zewnętrznych 6,3 cm x 9,5 cm x 17 cm zmieści się 1 litr mleka? Przyjmij, że grubość ścianki wynosi 0,5 mm.
Rozwiązanie: Określmy wymiary wewnętrzne kartonu, pamiętając, że od wymiarów zewnętrznych musimy odjąć 0,1 cm (2 · 0,5 mm = 1 mm).
Wynoszą one: 6,2 cm; 9,4 cm; 16,9 cm. Wyliczymy objętość prostopadłościanu o tych wymiarach
V = 6,2 cm · 9,4 cm · 16,9 cm » 985 cm³ ≈ 0,985 dm³
Wniosek: 0,985 dm³ < 1 litra.
Odpowiedź: Jeden litr mleka nie zmieści się w kartonie o podanych wymiarach.
Zadanie domowe!
1) Pole powierzchni prostopadłościanu o krawędziach długości 1,2 dm, 5 cm, 0,1 m wynosi:
A. 2,3 dm²
B. 4,6 dm²
C. 0,6 dm²
D. 13,24 dm²
2) Z akwarium o wymiarach podstawy 5 dm x 4 dm i wysokości 3,6 dm napełnionego do połowy wodą odlano 4 litry wody. O ile centymetrów obniżył się poziom wody w akwarium?
A. 1,8 cm
B. 2 cm
C. 11 cm
D. 20 cm
3) Ściany boczne 6 kolumn w kształcie prostopadłościanu o wymiarach podstawy 3 dm x 3 dm i wysokości 3,5 m pomalowano farbą. Ile litrów farby zużyto, jeśli dwulitrowa puszka farby starcza na pomalowanie 14 m² powierzchni?
A. 0,9 l
B. 1,8 l
C. 3,6 l
D. 7,2 l
Rozwiązanie
1) B
Wymiary przedstawimy w decymetrach, bo podane odpowiedzi są zapisane w decymetrach kwadratowych. Wynoszą one 1,2 dm, 0,5 dm i 1 dm. Liczymy pole powierzchni:
P = 2 · 1,2 dm · 0,5 dm + 2 · 1,2 dm · 1 dm + 2 · 1 dm ·0,5 dm = 1,2 dm² + 2,4 dm² + 1 dm² = 4,6 dm².
2) B
x – długość szukanego odcinka
5 dm · 4 dm · x = 4 dm³
x = 0,2 dm = 2 cm
3) C
Skoro mamy 6 kolumn, a każda ma 4 ściany boczne, to razem mamy do pomalowania 24 prostokąty o wymiarach 0,3 m
i 3,5 m. Pole wynosi: P = 24 · 0,3 m · 3,5 m = 25,2 m². Skoro 2 litry farby wystarczają na pomalowanie 14 m² powierzchni, to jednym litrem pomalujemy 7 m² powierzchni. Z tego wynika, że na pomalowanie 25,2 m² powierzchni potrzeba 3,6 litra farby (25,2 : 7 = 3,6).