Liczby naturalne
Najważniejszym zbiorem liczbowym, który poznała ludzkość, jest zbiór liczb naturalnych N Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności.
Zbiór liczb naturalnych N zawiera w sobie następujące elementy
N = {1, 2, 3, 4, …} lub N = {0, 1, 2, 3, 4, …}.
Uwaga! Nie ma zgodności matematyków co do przynależności zera do liczb naturalnych. Zatem korzystać z niego będziemy zgodnie z potrzebą.
Liczby naturalne zapisujemy za pomocą znaków zwanych cyframi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i za ich pomocą można zapisać każdą liczbę naturalną.
Liczby całkowite
Zbiór liczb całkowitych C zawiera w sobie
- zbiór liczb naturalnych,
- zbiór liczb przeciwnych do naturalnych
- liczbę 0.
C = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}.
Liczby wymierne
Liczba wymierna – to taka liczba, którą można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, gdzie druga jest różna od zera. Zatem zbiór liczb wymiernych to po prostu ułamki. Każdą liczbę całkowitą można zapisać w postaci ułamka (zero również), zatem każda liczba całkowita jest liczbą wymierną.
Liczby niewymierne
Liczby, które nie dadzą zapisać się w postaci ułamków nazywamy liczbami niewymiernymi.
Przykłady liczb niewymiernych to:
Liczby rzeczywiste
Zbiór liczb wymiernych i zbiór liczb niewymiernych tworzą razem zbiór liczb rzeczywistych R.
Zależności wymienionych zbiorów ilustruje rysunek:
Uwaga
Mówimy, że działanie jest wykonalne w danym zbiorze, jeżeli wynik tego działania na liczbach należących do danego zbioru jest liczbą również należącą do danego zbioru.
Prawa ułatwiające wykonywanie działań1. przemienność dodawania i mnożenia a + b = b + a 2. łączność dodawania i mnożenia (a + b) + c = a + (b + c) 3. rozdzielność mnożenia i dzielenia względem dodawania lub odejmowania a · (b ± c) = a · b ± a · c |
Liczby neutralne
Czy istnieje taka liczba w konkretnym działaniu, która nie ma wpływu na wynik tego działania? Ależ tak.
- W dodawaniu to zadanie spełnia liczba 0 a w mnożeniu liczba 1.
- Mówimy, że „0” jest elementem neutralnym dodawania, a „1” jest elementem neutralnym mnożenia.
Liczby „0” i „1” nadają ciekawe właściwości poszczególnym działaniom:
a + 0 = a a · 1 = a
a – 0 = a a : 1 = a
a – a = 0 a : a = 1
a · 0 = 0
0 : a = 0
a : 0 – działanie niewykonalne
Działania odwrotne
Działania: dodawanie i odejmowanie oraz mnożenie i dzielenie są odwrotnymi względem siebie tzn., że
- jeżeli a + b = c, to a = c – b b = c – a
- jeżeli a – b = c, to a = b + c b = c – a
- jeżeli a : b = c, to a = b · c b = c : a gdy a ≠ 0 i b ≠ 0
- jeżeli a · b = c, to a = c : b b = c : a gdy a ≠ 0 i b ≠ 0
Wartość bezwzględna i liczby przeciwne
Liczby mające taką samą wartość bezwzględną, ale różne znaki, nazywamy liczbami przeciwnymi, np.:
5 i –5; 4 i –4; –1 i 1;
Uwaga!
- Zero jest liczbą przeciwną do siebie samej.
- Liczby przeciwne leżą na osi liczbowej po obu stronach zera w jednakowej odległości od zera.
- Suma liczb przeciwnych jest równa zeru.
5 + (-5) = 0
(–1) + 1 =0
2,75 + (–2,75) = 0
Odwrotność liczby
Odwrotność liczby to iloraz liczby 1 przez daną liczbę.
Iloczyn liczby danej przez jej odwrotność równy jest jeden, np.:
Podzielność liczb
Mówimy, że liczba a jest podzielna przez liczbę b wtedy, gdy reszta z tego dzielenia równa jest zeru
- liczbę a nazywamy wielokrotnością liczby b
- liczbę b nazywamy podzielnikiem liczby a
Odwrotność liczby potrzebna jest przy dzieleniu ułamków.
Uwaga: liczba 0 nie ma odwrotności, gdyż dzielnikiem nie może być zero.
Liczby pierwsze
Liczbą pierwszą nazywamy taką liczbę, która ma dokładnie dwa podzielniki – liczbę 1 i samą siebie, np..: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …
Liczby złożone
Liczbą złożoną nazywamy taką liczbę, która ma więcej niż dwa podzielniki, np.
4 (dzieli się przez 1, 2, 4) , 6 (dzieli się przez 1, 2, 3, 6) , 8, 9, 10, 12, 14, …
Uwaga! Liczba 1 nie jest ani liczbą pierwszą ani złożoną.
Liczba a Podzielniki liczby a Wielokrotności liczby a
2 1, 2 2, 4, 6, 8, …
3 1, 3 3, 6, 9, 12, …
4 1, 2, 4 4, 8, 12, 16, …
8 1, 2, 4, 8 8, 16, 24, 32, …
Liczby podzielne przez 2 nazywamy liczbami parzystymi.
Liczby, które nie są podzielne przez 2 nazywamy liczbami nieparzystymi.
- Liczby podzielne przez 2 nazywamy wielokrotnościami liczby 2.
- Liczby podzielne przez 3 nazywamy wielokrotnościami liczby 3.
- Liczby podzielne przez 4 nazywamy wielokrotnościami liczby 4 itd.
Jak rozpoznać czy dana liczba jest podzielna przez inną liczbę?
Do tego służą cechy podzielności liczb przez 2, 3, 4, 5, 10, 25, 100 itd.
- Liczba jest podzielna przez 2 wtedy, gdy ostatnia cyfra tej liczby jest podzielna przez 2 tzn.: 2, 4, 6, 8.
- Liczba jest podzielna przez 5 wtedy, gdy ostatnia cyfra tej liczby jest 0 lub 5.
- Liczba jest podzielna przez 4 wtedy, gdy ostatnie dwie cyfry tej liczby tworzą liczbę podzielną przez 4 np.:
- 512 (12 jest podzielne przez 4),
- 1 616 (16 jest podzielne przez 4),
- 55 120 (16 jest podzielne przez 4).
- Liczba jest podzielna przez 25 wtedy, gdy ostatnie dwie cyfry tej liczby tworzą liczbę podzielną przez 25 tzn.: 00; 25; 50; 75;
- 200
- 1925
- 11 575
- Liczba jest podzielna przez 10, wtedy, gdy ostatnia jej cyfra wynosi 0.
- Liczba jest podzielna przez 100 wtedy, gdy dwie ostanie jej cyfry są zerami.
- Liczba jest podzielna przez 3 wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3.
- Liczba jest podzielna przez 9 wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9.
- 666 (6+6+6=18 – 18 jest podzielne przez 3)
- 711 (7+1+1=9 – 9 jest podzielne przez 3)
- Jeżeli liczba jest podzielna przez 2 i 3 równocześnie to jest również podzielna przez 6.
- Jeżeli liczba jest podzielna przez 3 i 5 równocześnie to jest również podzielna przez 15.
Największy wspólny podzielnik
Największym wspólnym podzielnikiem (NWD) dwóch lub więcej liczb jest największa liczba naturalna, przez którą podzielna jest każda z tych liczb.
Jeśli szukamy największego wspólnego podzielnika dwóch liczb np.: 24, 36 obie liczby należy rozłożyć na czynniki pierwsze wyszukując tylko wspólne podzielniki tych liczb.
1. Obie liczby 24 i 36 dzielą się przez 2 (jest to wspólny podzielnik)
24 2 36 2
2. Po podzieleniu otrzymujemy liczby 12 i 18, które obie dzielą się przez 2
12 2 18 2
3. Po podzieleniu otrzymujemy liczby 6 i 9, które obie dzielą się przez 3
6 3 9 3
2 3
4. Teraz mnożymy wspólne podzielniki NWP (24, 36) = 2 · 2 · 3 = 12
Uwaga! Odszukiwanie NWP (Największego wspólnego podzielnika) jest potrzebne przy skracaniu ułamków.
Najmniejsza Wspólna Wielokrotność
Najmniejszą wspólna wielokrotność (NWW) to najmniejsza liczba naturalna, podzielna przez każdą z tych liczb.
Jak znaleźć NWW liczb 24 i 36?
Można tak:
1. Rozkładamy obie liczby na czynniki pierwsze.
2. W rozkładzie drugiej liczby wykreślamy (o ile istnieją) wspólne czynniki. Iloczyn wszystkich nieskreślonych czynników obu liczb jest najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb.
24 2 36 2 (liczbę 2 wykreślamy, bo się powtarza)
12 3 18 3 (liczbę 3 wykreślamy, bo się powtarza)
4 2 6 2 (liczbę 2 wykreślamy, bo się powtarza)
2 2 3 3
1 1
Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 24 i 36 jest liczba 72 = 2 • 3 • 2 • 2 • 3
Uwaga!
Odszukiwanie NWW potrzebne jest przy sprowadzaniu ułamków do wspólnego mianownika.
Zobacz: