Matematyka
Wielokąty Każdy wielokąt jest częścią płaszczyzny ograniczoną odpowiednią łamaną. Wielkość tej części płaszczyzny można zmierzyć. Do mierzenia używamy „jednostek mierzenia pola powierzchni”, które są kwadratami o odpowiedniej długości boku. np.: 1 cm² (centymetr kwadratowy), to kwadrat, którego długość boku wynosi 1 cm 1 m² (metr kwadratowy), to kwadrat, którego długość boku wynosi 1 m. Najczęściej stosuje się poniższe jednostki mierzenia pola powierzchni: Zamiennikiem jest liczba 100. Skacząc w dół o
Klasyfikacja i własności trójkątów i czworokątów. Część płaszczyzny ograniczoną łamaną zwyczajną zamkniętą wziętą razem z tą łamaną nazywamy wielokątem. Wierzchołki łamanej nazywamy wierzchołkami wielokąta. Boki łamanej nazywamy bokami wielokąta. Odcinek łączący dwa nie kolejne wierzchołki wielokąta nazywamy przekątną wielokąta. Ze względu na ilość boków wielokąty dzielimy na: Trójkąty – 3 boki Czworokąty – 4 boki Pięciokąty – 5 boków Sześciokąty – 6 boków itd. Trójkąty Trójkąty, to wielokąty o najmniejszej
Prosta, płaszczyzna, punkt, odcinek, łamana, kąt, rodzaje kątów W geometrii istnieją pojęcia PIERWOTNE, których definicji nie jesteśmy w stanie podać. Do takich pojęć należy: PUNKT, PROSTA, PŁASZCZYZNA.Wszystkie inne pojęcia są pochodnymi pierwotnych i dzięki nim definiowane. PUNKT oznaczamy dużymi literami alfabetu, np.: • A • B • C PROSTE oznaczamy małymi literami alfabetu np. : p Prosta jest to linia, która nie ma ani początku ani końca. Punkt leżący
Styczna do okręgu. Wielokąty foremne. Kąty środkowy i wpisany. Zadanie 1 Zbuduj prostokąt mając dany jego bok a, oraz kąt ostry α zawarty między przekątną a bokiem a. 1.Na prostej p od punktu A odkładam bok a. Otrzymuję punkt B. 2. Przenoszę kąt α tak aby jego ramieniem była prosta p a wierzchołkiem punkt A. Otrzymuję drugie ramię kąta. 3. W punkcie B wystawiam prostopadłą do prostej p. W przecięciu prostopadłej z drugim
Zadanie 1 Dany odcinek AB podziel konstrukcyjnie na połowy. Opis: Z punktów A i B zataczamy łuki dowolną, ale jednakową rozwartością cyrkla aż do przecięcia się w punktach C i D, które łączymy otrzymując prostą zwaną symetralną odcinka AB. Symetralna w przecięciu z odcinkiem AB tworzy punkt K, który jest jego środkiem. Punkty symetralnej odcinka posiadają tę własność, że ich odległość od końców danego odcinka jest jednakowa, i tak: |AK|
Symetria osiowa i środkowa Przekształcenia figur podzielić można na takie, które: nie zmieniają ani kształtu ani wielkości figury, nie zmieniają kształtu, ale zmieniają wielkość figury, zmieniają kształt i wielkość figury. Do grupy pierwszej należą: przesunięcie równoległe, obrót, symetria osiowa, symetria środkowa. Wymienione powyżej przekształcenia noszą nazwę IZOMETRII. W przekształceniach izometrycznych otrzymujemy figury przystające, których: odpowiednie boki są przystające odpowiednie kąty są równe. Grupa druga to: jednokładność, podobieństwo. Dzięki tym przekształceniom,
Graniastosłup Graniastosłupem nazywamy figurę przestrzenną, której dwie ściany zwane podstawami są przystającymi wielokątami zawartymi w płaszczyznach równoległych, a ściany boczne są równoległobokami. W graniastosłupie prostym wszystkie ściany boczne są prostokątami oraz są prostopadłe do podstawy. Graniastosłupem prostym czworokątnym jest m. in. prostopadłościan. Graniastosłup prawidłowy (bądź graniastosłup foremny) – to taki graniastosłup prosty, którego każda podstawa jest jakimkolwiek wielokątem foremnym (tj. mającym równe boki oraz takie same kąty). Wielokątami foremnymi są np.: trójkąt równoboczny, kwadrat,
Wiedza w pigułce Twierdzenie Pitagorasa Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. a, b – długości przyprostokątnych c – długość przeciwprostokątnej Uwaga! Stosując twierdzenie Pitagorasa, można obliczyć długość jednego z boków trójkąta prostokątnego, gdy są znane długości dwóch pozostałych boków. Warto wiedzieć, że… W wielu figurach płaskich poprzez dorysowanie w danej figurze odpowiednich odcinków otrzymujemy trójkąty prostokątne, dla których można stosować twierdzenie Pitagorasa:
Zadanie 1. Działka jest prostokątem o wymiarach 80 m i 900 dm. Wyraź w arach powierzchnię tej działki. Rozwiązanie: Ponieważ 1 a = 100 m², więc obliczenia najwygodniej prowadzić w metrach. Wymiary działki: a = 80 m, b = 900 dm = 90 m. Stąd P = 80 m ⋅ 90 m = 7200 m² = 72 a Odpowiedź: Powierzchnia działki wynosi 72 ary. Zadanie 2 Podłoga w przedpokoju ma
Czworokąt – część płaszczyzny ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą złożoną z czterech odcinków. Przekątna wielokąta to odcinek łączący dwa niekolejne wierzchołki wielokąta. W każdym czworokącie można poprowadzić dwie przekątne. Suma miar kątów wewnętrznych czworokąta wynosi 360°. Zapamiętaj! Wzór na sumę kątów dowolnego wielokąta wypukłego to S = (n-2)⋅180° gdzie n oznacza oczywiście liczbę kątów wielokąta. Wielokąt wypukły to taki, w którym każdy kąt wewnętrzny ma miarę mniejszą niż 180°. Oto cztery wielokąty. Dwa z nich
Działania na potęgach Twierdzenia te musisz znać. Będziesz je stosować w zadaniach!
Uwaga! Najniższy stopień pierwiastka wynosi 2 i zgodnie z umową, tej dwójki nie piszemy. Pierwiastek, którego stopień wynosi 2, nazywamy pierwiastkiem kwadratowym lub pierwiastkiem stopnia drugiego. Arytmetycznym pierwiastkiem drugiego stopnia z liczby nieujemnej a nazywamy taką liczbę nieujemną b, która podniesiona do kwadratu równa jest liczbie podpierwiastkowej a. Pierwiastek, którego stopień wynosi 3, nazywamy pierwiastkiem sześciennym lub pierwiastkiem stopnia trzeciego. Arytmetycznym pierwiastkiem trzeciego stopnia z liczby nieujemnej a nazywamy taką liczbę nieujemną
Obwód koła Pole koła r – długość promienia koła Uwaga! Pole i obwód koła są ze sobą ściśle związane: większe pole powierzchni to większy obwód, mniejsze pole to mniejszy obwód. Długość łuku Łuk jest określony przez promień okręgu r i kąt środkowy α. Długość za-znaczonego łuku AB i obwód okręgu L pozostają w takim samym stosunku względem siebie jak kąt środkowy i kąt pełny 360°. Długość łuku wycinka koła o
Uwaga! Objętość ostrosłupa jest trzy razy mniejsza niż objętość graniastosłupa o takiej samej podstawie i wysokości. Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą, jest dowolnym wielokątem, a pozostałe ściany są trójkątami mającymi wspólny wierzchołek. Trójkąty tworzące ściany nazywamy ścianami bocznymi, a ich wspólny wierzchołek – wierzchołkiem ostrosłupa. Boki podstawy nazywamy krawędziami podstawy, a pozostałe krawędzie – krawędziami bocznymi. Wysokością ostrosłupa nazywamy odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z jego rzutem prostokątnym na płaszczyznę podstawy. Punkt będący rzutem
Musisz wiedzieć! Okrąg jest wpisany w wielokąt, jeżeli jest styczny do wszystkich boków tego wielokąta. Okrąg jest opisany na wielokącie, jeżeli wszystkie wierzchołki wielokąta leżą na okręgu. Wielokąt wpisany w okrąg Okrąg opisany na wielokącie Wielokąt opisany na okręgu Okrąg wpisany w wielokąt Zadanie 1. Drewniany blat stołu w kształcie koła przerobiono na prostokątny. Długości boków otrzymanego prostokąta wynoszą 6 dm i 8 dm. Oblicz pole powierzchni pozostałej części blatu (obszar zacieniowany). Rozwiązanie: Chcąc
Prostopadłościan Prostopadłościan jest to graniastosłup prosty, którego wszystkie ściany są prostokątami. Każda ściana prostopadłościanu może być podstawą albo ścianą boczną; zależy od jego ustawienia. Długości krawędzi podstawy nazywamy odpowiednio długością i szerokością prostopadłościanu, a długość krawędzi bocznej wysokością prostopadłościanu. Przekątną ściany nazywamy przekątną prostokąta będącego ścianą prostopadłościanu. Przekątną prostopadłościanu nazywamy odcinek łączący dwa wierzchołki prostopadłościanu nienależące do jednej ściany. Prostopadłościan ma 6 ścian, w tym 2 podstawy i 4 ściany
Okręgiem o środku O i promieniu r nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O wynosi r. Kołem o środku O i promieniu r nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest mniejsza lub równa r. Zauważ! Środek okręgu nie należy do okręgu, środek koła należy do koła. To jest ważne! W okręgu i kole można zaznaczyć: Promień r – odcinek, którego jednym końcem jest środek okręgu O, a drugi koniec leży na okręgu. Cięciwę c – odcinek,
Trzy wymiary Jeśli narysujemy odcinek, łamaną lub utniemy kawałek sznurka, to otrzymamy figurę jednowymiarową. Wielkość (miara) takiej figury, to po prostu długość. Podstawową jednostką długości jest metr. Koło, prostokąt lub kawałek wyciętej kartki, to figury dwuwymiarowe. Miarą ich wielkości jest pole powierzchni. Wyrażamy je w kwadratowych jednostkach długości (np. w metrach kwadratowych). Figury trójwymiarowe (bryły) to np. puszka napoju, tabliczka czekolady lub bryła wycięta ze styropianu. Miarą wielkości brył jest sześcienna jednostka
Na teście na pewno pojawi się przynajmniej jedno zadanie z geometrii. Musisz koniecznie umieć… …twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym. Treść tego twierdzenia jest bardzo prosta. Zapamiętaj! Kąt środkowy ma miarę dwa razy większą od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. Kąt wpisany i środkowy to pojęcia dotyczące kątów w kole (lub w okręgu). Kąt wpisany to kąt wypukły, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona przecinają okrąg. Kąt środkowy to taki, którego wierzchołek leży
Zapamiętaj twierdzenie Talesa! Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to odcinki utworzone na ramionach tego kąta będą proporcjonalne. Które odcinki będą proporcjonalne? Sprawdź to na przykładzie! Ramiona kąta AOB przecięto równoległymi prostymi: AB i A’B’. Wynika stąd, że prawdziwe są następujące równości: Prawidłowość ta służy do rozwiązywania całej gamy zadań z geometrii. Zadanie 1. Chłopiec wzrostu 160 cm rzuca cień długości 4 metry. Jednocześnie drzewo rzuca cień długości 37,5 metra.
