Bryły – podstawowe wzory
H – wysokość bryły Pp – pole podstawy Pb – pole powierzchni bocznej V – objętość bryły P – pole powierzchni bryły Graniastosłup Sześcian Prostopadłościan Ostrosłup Walec Stożek ścięty Kula
Matematyka
Konstrukcje geometryczne (przed egzaminem)
To jest ważne! Rysunki wykonuj bardzo starannie. Rysunek nie może być zbyt mały. Lepiej, żeby był duży niż mikroskopijny. Nie zakładaj niczego, czego nie wiesz na pewno (np. nie rysuj trójkąta równoramiennego, jeśli nie wiesz, że jest on równoramienny). Dobry rysunek ułatwi Ci rozwiązanie zadania, zły – uniemożliwi. Konstrukcja to opis konstrukcji Konstrukcja geometryczna to rysunek wykonany za pomocą cyrkla, linijki (bez podziałki) i ołówka. Prawidłowo rozwiązane zadanie konstrukcyjne składa się
Graniastosłup
Graniastosłup Graniastosłupem nazywamy figurę przestrzenną, której dwie ściany zwane podstawami są przystającymi wielokątami zawartymi w płaszczyznach równoległych, a ściany boczne są równoległobokami. Uwaga! W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami (są prostopadłe do podstaw). Zapamiętaj! Graniastosłup nazywamy prawidłowym, jeśli jest prosty i podstawy są wielokątami foremnymi. Wielokątami foremnymi są np. trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt foremny. Przekątna graniastosłupa – to odcinek łączący dwa wierzchołki nienależące do płaszczyzny jednej ściany. Uwaga! Graniastosłup trójkątny ma
Walec
Walec Walec jest figurą przestrzenna, która powstaje przez obrót prostokąta wzdłuż prostej zawierającej jeden z jego boków. Pole powierzchni całkowitej walca to suma pól podstaw dolnej i górnej (dwa koła) i powierzchni bocznej, która jest prostokątem o długości równej długości okręgu podstawy i szerokości równej wysokości walca) Pc = 2 · Pp + Pb Pc = 2πr2 + 2πrH r – długość promienia koła H – wysokość walca Objętość walca (mnożymy
Kąty
Narysujmy na płaszczyźnie dwie różne półproste o wspólnym początku, nie należące do jednej prostej. Płaszczyzna została podzielona w ten sposób na dwa obszary, z których każdy nazywamy kątem. Wspólny początek półprostych nazywamy wierzchołkiem kąta, a owe półproste – jego ramionami. Oznaczenia kątów: trzyliterowe : ramię, wierzchołek, ramię oznaczają wnętrze kąt jednoliterowe – greckie litery α, β, γ, δ Rodzaje kątów Przy rozwiązywaniu zadań potrzebna też będzie znajomość kątów: Zadania Rysunek
Wyrażenia literowe i wzory skróconego mnożenia
WYRAŻENIEM (w sensie matematycznym) nazywamy pojedynczą liczbę lub zmienną literową, albo kilka liczb czy zmiennych literowych połączonych znakami działań. Np.: 5; -a; 4 + x; ; 6(y + 1)2; Wyrażenia dzielimy na: 1. ARYTMETYCZNE, jeśli występują tylko elementy zbiorów liczbowych. 5 +2; ; 8 – (-4); – to wyrażenia arytmetyczne (nie zawierają liter (zmiennych); 2. ALGEBRAICZNE (lub literowe) – jeśli występuje chociażby jedna zmienna literowa. 2x; 5x – 9; 4(a
To co powinieneś wiedzieć z podstawówki
Powtórka przed pracą klasową Matematyka szkoła podstawowa Liczby w działaniach a – b = c ↑ ↑ ↑ odjemna odjemnik różnica a + b = c ↑ ↑ ↑ składnik składnik suma a : b = c ↑ ↑
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Zadanie W poprzek działki w kształcie trapezu poprowadzono ścieżkę. Oblicz długość ścieżki (Wymiary na rysunku podano w metrach). Rozwiązanie: Musimy dwukrotnie skorzystać z twierdzenia Pitagorasa: 1. najpierw dla trójkąta prostokątnego o bokach x, 5 i 13. Teraz układamy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego o bokach 12, 9 i y. (Obliczyliśmy, że x = 12) y2 =
Równania i nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą
Równania Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń, z których przynajmniej jedno jest algebraiczne. Równania, w których występuje tylko jedna zmienna literowa, czyli niewiadoma w pierwszej potędze, nazywamy równaniem pierwszego stopnia z jedną niewiadomą. Rozwiązać równanie, to znaczy znaleźć taką liczbę, która podstawiona do równania w miejsce niewiadomej spełnia (sprawdza) to równanie. Taką liczbę nazywamy pierwiastkiem równania. Np.: równanie x + 1 = 3 ma pierwiastek 2 i tylko ten pierwiastek; a równanie
Pierwiastkowanie
Symbol czytamy: pierwiastek n-tego stopnia z liczby z Liczbę z nazywamy liczbą podpierwiastkową lub pierwiastkowaną. Liczbę n nazywamy stopniem pierwiastka. , gdy Pierwiastek n-tego stopnia z liczby a równa się b, gdy b do potęgi n-tej jest równe a. Uwaga! Pierwiastek kwadratowy (drugiego stopnia) dla a ≥ 0, b ≥ 0 Uwaga! Gdy nie ma zapisanego stopnia pierwiastka to wiemy, że jest to pierwiastek 2-go stopnia, czyli pierwiastek kwadratowy. Pamiętaj!
Potęgi (potęgowanie), działania na potęgach
Czynność, którą nazywa się potęgowaniem, to nic innego, jak szczególny przypadek znanego nam dobrze mnożenia jednakowych czynników. Podstawa potęgi – informuje nas, jaką liczbę mnożymy przez siebie. Wykładnik potęgi – mówi, ile razy podstawę potęgi należy pomnożyć przez siebie. Wartość potęgi – to wynik mnożenia. Czynność obliczania wartości potęgi nazywamy potęgowaniem. Powtórzmy sobie wiadomości dotyczące takiego potęgowania, w którym podstawa jest liczbą rzeczywistą natomiast wykładnik należy do zbioru liczb całkowitych. Definicja
Wyrażenia literowe oraz wzory skróconego mnożenia
Wyrażenie Wyrażeniem (w sensie matematycznym) nazywamy pojedynczą liczbę lub zmienną literową, albo kilka liczb czy zmiennych literowych połączonych znakami działań. Np.: 5; –a; 4 + x; 6(y + 1)2 Wyrażenia dzielimy na: arytmetyczne – jeśli występują tylko elementy zbiorów liczbowych; 5 +2; 8 – (–4); 10 – 6; 10 2; 5(2 + 6 – 5) – to wyrażenia arytmetyczne algebraiczne (lub literowe) – jeśli występuje chociażby jedna zmienna literowa. 2x; 5x – 9; 2x
Procenty i diagramy procentowe
Słowo procent oznacza setną część danej wielkości. Słowo to pochodzi z języka łacińskiego i znaczy „od stu” lub „za sto”. Procent oznaczamy następującym znakiem: %. Ułamki zamieniamy na procenty wykonując mnożenie przez 100, np.: Procenty zamieniamy na ułamki wykonując dzielenie przez 100, np.: Zadanie 1 Jajko zawiera 58% białka, 32% żółtka, a reszta to skorupka. Oblicz, jaką częścią jajka jest skorupka? Rozwiązanie: Jajko stanowi 100%, a więc skorupka stanowi: 100%
Ułamki
Co to jest ułamek? Ułamek traktujemy jako część jedności albo iloraz dwóch liczb całkowitych. Ułamkiem będzie fragment każdej z tych figur, które traktujemy jako całość. Mianownik wskazuje na ile części podzielona jest całość. W przypadku tabliczki czekolady (na rys. poniżej), podzielona jest na 36 części (kostek). Każda kostka czekolady będzie ułamkiem całej tabliczki (przy okazji powtórka ze słowotwórstwa: żeby zjeść kawałek czekolady, trzeba go najpierw ułamać z całości – i
Zbiory liczbowe
Liczby naturalne Najważniejszym zbiorem liczbowym, który poznała ludzkość, jest zbiór liczb naturalnych N Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Zbiór liczb naturalnych N zawiera w sobie następujące elementy N = {1, 2, 3, 4, …} lub N = {0, 1, 2, 3, 4, …}. Uwaga! Nie ma zgodności matematyków co do przynależności zera do liczb naturalnych. Zatem korzystać z niego będziemy zgodnie z potrzebą. Liczby
Figury obrotowe – walec i stożek
Walec Walec jest figurą przestrzenną, która powstaje przez obrót prostokąta wzdłuż jednego z jego boków. Pole powierzchni całkowitej walca to suma pól podstaw (dolnej i górnej) i powierzchni bocznej Pc = 2 · Pp + Pb r – długość promienia koła H – wysokość walca Objętość walca r – długość promienia podstawy walca H – wysokość walca Stożek Stożek jest to figura przestrzenna powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wzdłuż jednej
Figury przestrzenne
Zapamiętaj Przestrzeń jest pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Przestrzeń składa się z punktów i jest nieograniczona w żadnym kierunku. Płaszczyzna Jest to jedno z pierwotnych pojęć geometrii. Możemy wyobrazić ją sobie jako powierzchnię płaską, nieskończenie wielką, nieposiadającą brzegów ani końca. Płaszczyzny najczęściej oznaczamy małymi literami alfabetu greckiego: α, β, γ. η itd. Prosta i płaszczyzna Jakie może być wzajemne położenie prostej i płaszczyzny w przestrzeni? Prosta może przecinać płaszczyznę i ma
OKRĄG I KOŁO
Okrąg Okręgiem o środku O i promieniu r nazywamy zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O wynosi r. Okręg oznaczamy o (O,r) i czytamy okrąg o środku w punkcie O i promieniu r. Promień okręgu jest to odcinek łączący środek okręgu z dowolnym punktem okręgu. Cięciwa jest to odcinek łączący dwa dowolne punkty okręgu. Średnica jest to cięciwa przechodząca przez środek okręgu. Styczna jest to prosta mająca z okręgiem tylko jeden punkt wspólny. Kąt
CZWOROKĄTY
Czworokąt jest to część płaszczyzny ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą złożoną z 4 odcinków. Ma cztery wierzchołki i cztery kąty wewnętrzne, których suma wynosi 360°. Łatwo można sprawdzić, że suma miar kątów wewnętrznych czworokąta wynosi 360°. Jeżeli w dowolnym czworokącie poprowadzisz jedną przekątną, to czworokąt zostanie podzielony na dwa trójkąty. Ponieważ suma miar kątów jednego trójkąta wynosi 180°, więc w obu jest ona równa 360°. Wierzchołki czworokąta oznaczamy dużymi literami alfabetu A, B, C,
TRÓJKĄTY
POWTARZAMY TRÓJKĄTY Wielokątem o najmniejszej liczbie boków jest trójkąt. Trójkąt to część płaszczyzny ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą złożoną z 3 odcinków. Trójkąt ma trzy wierzchołki i trzy kąty wewnętrzne. A, B, C – wierzchołki trójkąta AB, AC, BC – boki trójkąta ABC, ACB, CAB – kąty wewnętrzne trójkąta Zapamiętaj! Wierzchołki trójkąta oznaczamy dużymi literami A, B, C. Boki trójkąta oznaczamy małymi litrami a, b, c. Kąty oznaczamy greckimi literami α (przy wierzchołku